求解递推T（n）= 2T（sqrt（n））

Question

我想解决以下重现关系：

  

T（n）= 2T（√n）;

我猜是T(n) = O(log log n)，但我不确定如何证明这一点。我如何证明此重复解决了O(log log n)？

Answer 1

一个想法是通过引入新的变量k来简化重现，使得2 ^k = n。然后，递归关系适用于

  

T（2 ^k ）= 2T（2 ^{k / 2} ）

如果你然后让S（k）= T（2 ^k ），你会得到复发

  

S（k）= 2S（k / 2）

请注意，这相当于

  

S（k）= 2S（k / 2）+ O（1）

因为0 = O（1）。因此，通过主定理，我们得到S（k）=Θ（k），因为我们得到a = 2，b = 2，并且d = 0并且log _b a＆gt; d。

由于S（k）=Θ（k）且S（k）= T（2 ^k ）= T（n），我们得到T（n）=Θ（k）。由于我们选择2 ^k = n，这意味着k = log n，因此T（n）=Θ（log n）。这意味着您对O（log log n）的初始猜测是不正确的，并且运行时只是对数，而不是双对数。但是，如果只进行了一次递归调用，那么运行时将是O（log log n）是正确的。

希望这有帮助！

Answer 2

您可以通过展开递归来轻松解决此问题：

现在重复将在T(1) = a时完成，您可以找到相应的a。如果a = 0或1没有意义，但a=2会得到：

将k替换为第一个等式的最新部分，您将获得O(log(n))的复杂性。

在此检查其他类似的递归：

• T(n) = 2T(n^(1/2)) + log n
• T(n) = T(n^(1/2)) + Θ(lg lg n)
• T(n) = T(n^(1/2)) + 1