Question

我正在学习使用麻省理工学院课件和CLRS书籍算法导论。

我目前正在尝试解决重复问题（来自第107页）

T（n）= 2T（n / 2）+ n ⁴

如果我制作一个重复树，我得到：

0级：n ⁴

1级2（n / 2）⁴

2级4（n / 4）⁴

3级8（n / 8）⁴

树有lg（n）级别。因此我认为复发应该是

T（n）=Θ（n ⁴ lg n）

但是，如果我使用主定理，我就得到了

T（n）=Θ（n ⁴）

显然这两个都不对。哪一个是正确的？我的推理在哪里出错？

Answer 1

第二个看起来正确。请注意，您的重复树看起来像

n ⁴ + 2（n / 2）⁴ +4（n / 4）⁴ + ... + 2 ⁱ（n / 2 ⁱ）⁴

但是2（n / 2）⁴≠n ⁴，因为（n / 2）⁴ = n ^{4 < / sup> / 16，所以2（n / 2）⁴ = n ⁴ / 8。事实上，如果你计算出数学，你就会得到在第一级完成的工作由}

给出

n ⁴ /（2 ^-3i）

因此我们得到（1 + 1/8 + 1/64 + 1/512 + ...）n ⁴，可以显示小于2n ⁴。所以你的函数是Θ（n ⁴）。

Answer 2

对于递归，它是Θ（n ^ 4）

T(n) = 2*T(n/2) + n^4 
T(n) = 2( 2*T(n/4) + (n/2)^4) + n^4 = 4*T(n/4) + 2*(n/2)^4 + n^4
T(n) = 4(2*T(n/8) + (n/4)^4) + 2*(n/2)^4 + n^4 = 8*T(n/8) + 4*(n/4)^4 + 2(n/2)^4 + n^4

T(n) = 8*T(n/8) + n^4*(1 + 1/(2^3) + 1/(2^6))
...

T(n) = 2^k*T(n/(2^k)) + n^4*(1+ 1/(2^3) + 1/(2^6) + 1/(2^9)...+ 1/((2^(k-1))^3)

We know T(1) = 1

n = 2^k so k = log2(n) Then

T(n) = n*T(1) + n^4*( 1 - (1/(2^3))^k)/(1-1/8)

T(n) = n + (8/7)*n^4*(1 - n^(-3))

T(n) = n + (8/7)*(n^4 - n)

T(n) = (8/7)*n^4 - (1/7)*n


Θ(T(n)) = Θ((8/7)*n^4 - (1/7)*n)
Θ(T(n)) = Θ(n^4)

Θ（n ^ 4）

Answer 3

您可以直接使用主定理。

该等式适用于主定理的情况1，其中log (a) base b < f( n)

a：复发次数 b：子部件数量

log a base b = log 2 base 2 = 1 < n^4

因此，通过大师定理，T(n) = theta(f(n)) = theta(n^4)

Answer 4

通过大师定理

a = 2，b = 2，f（n）= n ^ 4

第一步-计算n ^（log a到b的底）=> n（log 2到b的底）= n * 1 = n 第二步-是f（n）>第一步结果=> n ^ 4> n =>是这意味着使用主定理的案例3。

第三步-检查规律性条件

Edit -> Current Project's Triggers

是的，满足正则条件，所以我们的解决方案必须是。

a. f(n/b) <= c. f(n) where c>1 
a(n/b) . log(n/b) <= c. f(n)
2.(n/2) . log(n/2) <= c. n^4
n.log(n/2) <= c.n^4

求出递归T（n）= 2T（n / 2）+ n ^ 4

4 个答案: