Question

我有这种情况：

T(n)= 2T(n/2) + (n-1)

我的尝试如下：

树是这样的：

T(n) = 2T(n/2) + (n-1)
T(n/2) = 2T(n/4) + ((n/2)-1)
T(n/4) = 2T(n/8) + ((n/4)-1) 
...

树的高度：（n /（2 ^h）） - 1 =1⇒h= lg n - 1 = lg n - lg 2
最后一级的成本：2 ^h = 2 ^{lg n - lg 2} =（1/2）n
直到等级h-1的所有等级的成本：Σ_{i = 0，...，lg（2n）} n - （2 ⁱ -1），这是一个几何级数，等于（1/2）（（1/2）n-1）

因此，T（n）=Θ（n lg n）

我的问题是：是吗？

Answer 1

不，不是。你最后一个级别的成本是错误的，所以你从中得到的也是错误的。

（我假设你想自己找到复杂性，所以除非你问，否则不再提示。）

编辑：根据要求提供一些提示

为了找到复杂性，一个通常有用的方法是递归地应用方程并将结果插入第一个，

T(n) = 2*T(n/2) + (n-1)
     = 2*(2*T(n/4) + (n/2-1)) + (n-1)
     = 4*T(n/4) + (n-2) + (n-1)
     = 4*T(n/4) + 2*n - 3
     = 4*(2*T(n/8) + (n/4-1)) + 2*n - 3
     = ...

这通常会导致你可以通过归纳证明一个封闭的公式（如果你有足够的经验，你不需要进行证明，那么你看正确性而不写下证据）

Spoiler：您可以查看几乎所有处理 Master Theorem 的资源的复杂性。

Answer 2

这可以通过Masters theorem轻松解决。

您有a=2，b=2，f(n) = n - 1 = O(n)，因此c = log2(2) = 1。这属于硕士定理的第一个案例，这意味着复杂性为O(n^c) = O(n)

递归T（n）= 2T（n / 2）+（n-1）

2 个答案: