如何解决递归T（n）= 2T（n ^（1/2））+ log n？

Question

我试图找到重现的时间复杂度：

  

T（n）= 2T（n ^1/2 ）+ log n

我非常接近解决方案，但是，我遇到了障碍。我需要解决：

  

n ^{（1/2 k ）} = 1

表示k可以简化我的替换模式。我不是在寻找复发的答案，只是k的解决方案。

Answer 1

当您开始展开递归时，您会得到：

这里有一些额外的步骤：

现在使用边界条件进行递归（数字2选为0和1没有意义），您将得到：

将k替换回您将获得的等式：

以下是一些使用相同想法的递归。

• T(n) = T(n^1/2) + 1
• T(n) = T(n^1/2) + O(loglog(n))

Answer 2

无法解决

  

n ^{（1/2 k ）} = 1

表示k，因为如果n> 1然后n ^x ＆gt; 1表示任何非零x。你能解决这个问题的唯一方法就是你选择k使得1/2 ^k = 0，但这是不可能的。

但是，你可以解决这个问题：

  

n ^{（1/2 k ）} = 2

首先，记录双方的日志：

  

（1/2 ^k ）lg n = lg 2 = 1

接下来，将两边乘以2 ^k ：

  

lg n = 2 ^k

最后，再次记录日志：

  

lg lg n = k

因此，一旦k = lg lg n。

，这种复发将停止

虽然你只询问了k的值，因为你问了整整一年，我想我会指出你可以做一个变量替换来解决这个问题。尝试设置k = 2 ⁿ 。那么k = lg n，所以你的重现是

  

T（k）= 2T（k / 2）+ k

这解决（使用主定理）到T（k）=Θ（k log k），并且使用k = lg n的事实，整体递归求解为Θ（log n log log n）。

希望这有帮助！

Answer 3

如果这是快速排序，那就是方程式：

此问题的解决方案是O(n*log(n))，因为现在它对某些T(n) ~ n^1/2来说更小（N），这意味着您的复杂性低于O(n*log(n))。

尝试使用归纳来证明你的约束

Answer 4

log base 1，为0。

所以

n ^（（1/2）^ k）= 1

log（n）（n ^（（1/2）^ k））= log（n）（1）

1/2 ^ k = 0

log（1/2）（（1/2）^ k）= log（1/2）（0）

log base 0的任何一个是负无穷大..所以......

k = -infinity。

我认为你应该为n使用不同的“最终数字”，而不是1 只是说...