Question

我遇到了这种复发关系的问题。

T（n）= 2T（n / 2）+ 1

任何人都可以帮我解释如何解决这个问题以获得O(n)的答案吗？

Answer 1

为简单起见，我们假设n是2的幂。例如，如果n = 8和基本情况T(0) = 0那么递归调用树看起来像这样：

                       1                                n = 8, depth 0
                      / \
                     /   \
                    /     \
                   /       \
                  /         \
                 /           \
                /             \
               /               \
              /                 \
             /                   \
            /                     \
           1                       1                    n = 4, depth 1
          / \                     / \
         /   \                   /   \
        /     \                 /     \
       /       \               /       \
      /         \             /         \
     1           1           1           1              n = 2, depth 2
    / \         / \         / \         / \
   /   \       /   \       /   \       /   \
  1     1     1     1     1     1     1     1           n = 1, depth 3
 / \   / \   / \   / \   / \   / \   / \   / \
0   0 0   0 0   0 0   0 0   0 0   0 0   0 0   0         n = 0, depth 4

树的log(n) + 1级别不计入最低级别，因为此级别中的每个节点的成本都为0。为了计算T(n)，在这种情况下T(8)，您必须总结树中的所有内容。

请注意，在i深度上，有2^i个节点，每个节点的成本等于1。

因此，树中的总和的公式为：

sum [from i = 0 to log(n)] 2^i

这是一个包含a_1 = 1和q = 2的几何图形序列，您想知道第一个log(n) + 1值的总和。这由公式给出：

(1 - 2^(log(n) + 1)) / (1 - 2) = 2n - 1

因此对于n = 8，结果为15。

我希望这会对你有所帮助。

Answer 2

这种关系的一个很好的解释在Cormen等人的“算法导论”中给出。该书中的主定理4.1处理形式为T（n）= aT（n / b）+ f（n）的所有重复关系。对于f，a和b的各种组合。该定理中的一个案例，案例2.可以应用于您的示例，给出O（n）估计。所以，为了回答你的问题，你不能只是解决这样的关系，在执行一些常规计算的意义上最终得到渐近，而你观察到你的情况属于一类关系，估计存在。

Answer 3

使用Master theorem解决这种类型的递归。

根据您的情况a = 2，b = 2和f(n) = 1。所以c = log2(2) = 1和O(n^1) > O(1)，这意味着我们属于第三种情况，因此复杂性为O(n)。

如何解决这种递归关系：T（n）= 2T（n / 2）+ 1

3 个答案: