求解递归T（n）= 2T（n / 2）+ sqrt（n）

Question

需要一点帮助！这是我到目前为止使用后向替换的原因：

T(n) = 2T(n/2) + sqrt(n), where T(1) = 1, and n = 2^k
T(n) = 2[2T(n/4) + sqrt(n/2)] + sqrt(n) = 2^2T(n/4) + 2sqrt(n/2) + sqrt(n)
T(n) = 2^2[2T(n/8) + sqrt(n/4)] + 2sqrt(n/2) + sqrt(n)
     = 2^3T(n/8) + 2^2sqrt(n/4) + 2sqrt(n/2) + sqrt(n)

一般

T(n) = 2^kT(1) + 2^(k-1) x sqrt(2^1) + 2^(k-2) x sqrt(2^2) + ... + 2^1 x sqrt(2^(k-1)) + sqrt(2^k)

到目前为止这是对的吗？如果是的话，我无法弄清楚如何简化它并将其简化为通用公式。

我猜这样的事情？结合术语

= 1 + 2^(k-(1/2)) + 2^(k-(2/2)) + 2^(k-(3/2)) + ... + 2^((k-1)/2) + 2^(k/2)

这就是我被困住的地方。也许是一种分解2 ^ k的方法？ 任何帮助都会很棒，谢谢！

Answer 1

你在那里一半。 表达式可以简化为：

Answer 2

如果您只想要一个大O解决方案，那么Master Theorem就可以了。

如果你想要一个精确的等式，recursion tree是好的。像这样：

右手边是每个级别的成本，很容易找到成本的一般形式，即sqrt((2^h) * n)。然后，总结一下你可以得到的成本T（n）。

1. 根据大师定理，情况为1，所以O(n)。
2. 根据递归树，确切的形式应该是sqrt(n)*(sqrt(2n)-1)*(sqrt(2)+1)，这与大O符号相对应。

编辑：

递归树只是所谓的backward substitution的可视化形式。如果您总结右侧，即cost，则可以得到T(n)的广义形式。所有这些方法都可以在introduction to algorithm

中找到