解决以下重现：T（n）= T（n / 3）+ T（n / 2）+ sqrt（n）

时间：2017-09-04 19:26:25

标签： algorithm recursion data-structures big-o

我正在尝试解决以下问题： T（n）= T（n / 3）+ T（n / 2）+ sqrt（n） 我目前做了以下工作但不确定我是否走在正确的轨道上：

  1. T（n）＆lt; = 2T（n / 2）+ sqrt（n）
  2. T（n）＆lt; = 4T（n / 4）+ sqrt（n / 2）+ sqrt（n）
  3. T（n）＆lt; = 8T（n / 8）+ sqrt（n / 4）+ sqrt（n / 2）+ sqrt（n）
  4. 所以，n /（2 ^ k）= 1，并且sqrt部分简化为：（a（1-r ^ n））/（1-r）

  5. K = log2（n），高度为2 ^ k，所以2 ^（log2（n））但是：

    我不知道如何将2 ^（log2（n））的结果与sqrt（n）部分结合起来。

1 个答案:

答案 0 :(得分：4)

一个很好的初步尝试是识别时间复杂度函数的上和下边界。这些是由：

给出的

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这两个函数比T(n)本身更容易解决。考虑稍微更通用的功能：

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我们什么时候停止递归？我们需要停止条件。由于没有给出，我们可以假设它是n = 1而不失一般性（你希望看到如何）。因此，术语m的数量由下式给出：

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因此我们可以获得T(n)的下限和上限：

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我们能做得比这更好吗？即获得n和T(n)之间的完全关系？

根据我之前的回答here，我们可以为T(n)推导二项式求和公式：

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其中

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C使得n = C成为T(n)的停止条件。如果没有给出，我们可以假设C = 1而不失一般性。

在您的示例中，f(n) = sqrt(n), c1 = c2 = 1, a = 3, b = 2。因此：

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我们如何评估内部总和？考虑二项式展开的标准公式，正指数为m：

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因此，我们将x, y替换为公式中的相应值，并获取：

enter image description here

我们使用标准几何系列公式和对数规则到达最后两步。请注意，指数与我们之前找到的边界一致。

确认关系的一些数值测试：

N       T(N)
--------------------
500000  118537.6226
550000  121572.4712
600000  135160.4025
650000  141671.5369
700000  149696.4756
750000  165645.2079
800000  168368.1888
850000  181528.6266
900000  185899.2682
950000  191220.0292
1000000 204493.2952

log T(N)针对log N：

的情节

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这样的情节m的渐变是T(N) ∝ N^m，我们看到m = 0.863，它非常接近0.861的理论值。

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