解决复发T（n）= T（n / 2）+ lg n？

Question

我在如何解决递归关系方面遇到了一些问题。

  

T（n）= T（n / 2）+ log2（n），T（1）= 1，其中n是2的幂

这是一个家庭作业问题，所以不要只给我答案。我只是想知道如何解决问题。

在课堂上我们过了the Master theorem。但我认为这不是解决这种特殊关系的最佳方式。

我真的不知道如何解决这个问题......我应该去吗

T(n) = T(n/2) + log_base2(n)
T(n/2) = [T(n/4)+log_base2(n/2)]
  T(n) = [T(n/4)+log_base2(n/2)] + log_base2(n) 

只是继续努力让我能看到的东西成为一个基本的等式？

Answer 1

这种复发解决了Θ（（log n） ² ）。这有两种方法可以看到这一点。

一些替换

如果你知道n是2的完美幂（即n = 2 ^k ），你可以将重现重写为

  

T（2 ^k ）= T（2 ^k-1 ）+ k

让我们定义一个新的重现S（k）= T（2 ^k ）。然后我们得到了

  

S（k）= S（k-1）+ k

如果我们扩大这种复发，我们就会得到

  

S（k）= S（k-1）+ k

     

= S（k-2）+（k-1）+ k

     

= S（k-3）+（k-2）+（k-1）+ k

     

= S（k - 4）+（k - 3）+（k - 2）+（k - 1）+ k

     

...

     

= S（0）+ 1 + 2 + 3 + ... + k

     

= S（0）+Θ（k ² ）

假设S（0）= 1，则此递归求解为Θ（k ² ）。

由于S（k）= T（2 ^k ）= T（n），我们得到T（n）=Θ（k ² ）=Θ（ log ² n）。

迭代重复

这里的另一个选择是扩展一些重复的术语，看看是否出现任何好的模式。这是我们得到的：

  

T（n）= T（n / 2）+ lg n

     

= T（n / 4）+ lg（n / 2）+ lg n

     

= T（n / 8）+ lg（n / 4）+ lg（n / 2）+ lg n

     

...

最终，在lg n层之后，这种重复发生在最低点，我们留下了这个表达式：

  

lg n + lg（n / 2）+ lg（n / 4）+ ... + lg（n / 2 ^{lg n）}

使用对数属性，我们可以将其重写为

  

lg n +（lg n - 1）+（lg n - 2）+（lg n - 3）+ ... +（lg n - lg n）

或者，反过来说，这就是总和

  

0 + 1 + 2 + 3 + ... + lg n

该和是高斯的总和达到lg n，其求值为（lg n）（lg n + 1）/ 2 =Θ（（log n）2）。

希望这有帮助！

Answer 2

如果n是2的幂，那么你可以使用lg（a / b）= lg（a） - lg（b）来扩展重复并精确求解。

T(n) = lg(n) + lg(n/2) + lg(n/4) + ... + lg(1) + 1
     = (lg(n) - 0) + (lg(n) - 1) .... + (lg(n) - lg(n)) + 1
     = lg(n)*lg(n) - lg(n)*(lg(n)+1)/2 + 1
     = lg(n)*lg(n)/2 - lg(n)/2 + 1

Answer 3

这可以用Akra-Bazzi定理来完成。请参阅http://people.mpi-inf.mpg.de/~mehlhorn/DatAlg2008/NewMasterTheorem.pdf中的第三个示例。

Answer 4

这可以通过Master theorem来解决。您的a=1和b=2以及f(n) = log(n)。然后是c = log2(1) = 0。由于您的c和f(n)属于第二种情况（k=1）。

所以解决方案是Θ（log ² n）