解决复发：T（n）= T（n ^（1/2））+Θ（lg lg n）

Question

开始学习算法。我理解如何从像T(n) = Tf(n) + g(n)这样的“常规重现”中找到the-notation。但我迷失了这个recurrence: problem 1-2e：

  

T（n）= T（√n）+Θ（lg lg n）

如何选择找到theta的方法？什么，呃，这种复发是什么？我只是不太明白符号 - 里面的复发事物。

Answer 1

可能有用的一个技巧是将n转换为其他东西，例如2 ^k 。如果我们这样做，你可以重写上面的

  

T（2 ^k ）= T（2 ^{k / 2} ）+Θ（log log 2 ^k ）

     

= T（2 ^k ）= T（2 ^{k / 2} ）+Θ（log k）

现在这看起来像我们实际上可以解决的重复，因为我们可以将其扩展为

  

T（2 ^k ）= T（2 ^{k / 2} ）+ log k = T（2 ^{k / 4} ）+ log （k / 2）+ log k

如果我们将其扩展一次，我们会得到

  

T（2 ⁱ ）= T（2 ^{k / 2 i} ）+ log k + log（k / 2）+ log （k / 4）+ ... + log（k / 2 ⁱ ）

当2 ^{k / 2 i} ≤2时（例如，在这种情况下我们达到基本情况），这种情况会在

时发生

  

2 ^{k / 2 i} = 2

     

k / 2 ⁱ = 1

     

k = 2 ⁱ

     

i = lg k

换句话说，如果我们可以写n = 2 ^k ，那么净结果将是

  

T（n）= lg k + lg（k / 2）+ log（k / 4）+ log（k / 8）+ ... 1

     

lg k +（lg k） - 1 +（lg k） - 2 +（lg k） - 3 + ... +（lg k） - lg k

     

=Θ（（lg k） ² ）

因为我们知道n = 2 ^k ，这意味着k =Θ（log n），所以用它代替我们得到T（n）=Θ（（log log n） ² ）。

这里的关键技巧是将n重写为2 ^k 。其余的是标准技术。

这有意义吗？好吧，如果你考虑一下，log log n除了其他外，还是写出log n所需的位数。在每次迭代中，您将获取数字的平方根，这会使其表示中的位数减半。这减少了将in中的位数写出一个所需的位数。因此，第一次迭代将写出log log n位，第二次（log log n） - 1，第三次（log log n） - 2等。总的来说，这个求和是Θ（（log log n） ² ），与直觉相符。

希望这有帮助！

Answer 2

以下是如何使用数学解决它。我将使用lnln(n)代替O(lnln(n))。这主要是为了减少公式的长度，你可以用big-O完全相同。所以：

这意味着：

，

现在转换

这个大的总结通知

整个lnln(n)总和可以转换为：

我们唯一的问题是在n和k之间找到一些联系，这可以很容易地从最新的T(...)术语中获得。

为此，我们必须为最新的术语找到合理的约束条件。这可以通过尝试几个整数来完成，例如0, 1, 2。使用2，您有：

将k替换为我们之前的等式，您将看到最大的术语是：

因此复杂性为：

P.S。您可以看到类似重现的解决方案here