如何解决这种复发T（n）= T（n-1）+ lg（1 + 1 / n），T（1）= 1？

Question

我在这次复发中陷入困境：

T(n) = T(n − 1) + lg(1 + 1/n), T(1) = 1?

一段时间似乎主方法无法应用于此方法。

Answer 1

我们有：

lg(1 + 1/n) = lg((n + 1) / n) = lg(n+1) - lg(n)

因此：

T(n) - T(n - 1) = lg(n + 1) - lg(n)

T(n-1) - T(n - 2) = lg(n) - lg(n - 1)

...

T(3) - T(2) = lg(3) - lg(2)

T(2) - T(1) = lg(2) - lg(1)

添加和删除，我们得到：

T(n) - T(1) = lg(n + 1) - lg(1) = lg(n + 1)

或T(n) = 1 + lg(n + 1)

因此T(n) = O(lg(n))

Answer 2

答案与其他正确答案相同，只是证明不同。

根据给定的重复创建以下所有等式：

• T（n）= T（n-1）+ Log（（n + 1）/ n）
• T（n-1）= T（n-2）+ Log（n /（n-1））
• T（2）= T（1）+ Log（3/2）

对上述方程中的所有RHS和LHS求和得到：

• T（n）= T（1）+ Log（3/2）+ Log（4/3）+ ... + Log（（n + 1）/ n）

由于Log（a）+ Log（b）= Log（ab），

• T（n）= 1 + Log（（n + 1）/ 2）
• T（n）= Log（10）+ Log（（n + 1）/ 2）= Log（5n + 5），假设基数为10并且使用1 = Log ₁₀ 10 < / LI>

因此T（n）= O（Log（5n + 5））= O（Log（n））

Answer 3

有些人声称这不是线性的。它是rand。这是数学分析：

如果您将开始展开递归，您将获得：

如果你这样做到最后你会有

或简短形式：

一旦你用积分逼近总和，你就会得到：

最后，如果你采取限制x - ＆gt;无穷：

您会看到第一部分是

这为您提供了O(log(n))

的最终解决方案log(x + 1)