求解递归T（floor [n / 2]）+ T（ceil [n / 2]）+ n - 1

Question

我有以下重复：

T(n) = c for n = 1.
T(n) = T(floor[n/2]) + T(ceil[n/2]) + n - 1 for n > 1.

看起来像合并排序给我，所以我猜这个重现的解决方案是Θ（nlogn）。根据掌握方法，我有：

a) Θ(1) for n = 1 (constant time).
b) If we drop the floor and ceil we have: (step1)
   T(N) = 2T(N/2) + n - 1 => a = 2, b = 2.
   logb(a) (base b) = lg(2) = 1 so n^lg(2) = n^1 = n

仔细看看，我们知道我们有主方法案例2：

 if f(n) = Θ(log(b)a) our solution to the recurrence is T(n) = Θ(log(b)a log(2)n)

解决方案确实是T（n）=Θ（nlogn），但我们不在常数因子1。 我的第一个问题是： 在第1步，我们丢弃了细胞和地板。它是否正确 ？第二个问题是我如何摆脱常数因子1？我放弃它吗？或者我应该命名为d并证明n - 1确实是n（如果是这样，我如何证明它？）。最后用替换方法证明它更好吗？

编辑：如果我们使用替换方法，我们得到：

  We guess that the solution is O(n). We need to show that T(n) <= cn.
  Substitutting in the recurrence we obtein 
  T(n) <= c(floor[n/2]) + c(ceil[n/2]) + n/2 - 1 = cn + n/2 - 1 

所以它不是合并排序？我错过了什么？

Answer 1

很久以前，但是这里去了

第1步我们掉了ceil和地板。这是对的吗？

我宁愿说

T(floor(n/2)) + T(floor[n/2)) <= T(floor(n/2)) + T(ceil[n/2)) 
T(floor(n/2)) + T(ceil[n/2)) <= T(ceil(n/2)) + T(ceil[n/2)) 

如果它们不相等，它们相差1（你可以忽略任何常数）

第二个问题是我如何摆脱常数因子1？

你忽略它。其背后的推理是：即使常数是巨大的10 ^ 100，与n变大时的尺寸相比也会很小。在现实生活中，你不能忽视真正的大常数，但这就是现实生活和理论的不同之处。在任何情况下，1都会产生最小的差异。

最后用替换方法

来证明它更好

你可以证明你的喜好，有些只是更简单。更简单通常更好，但除此之外'更好'没有意义。所以我的回答是否定的。