为什么函数的复杂度为f（n）= n ^ d，O（b ^ n），其中b> 1且d为正？

Question

所以，我在我的离散数学书中遇到了这个问题，其中函数f(n) = n^d的复杂性是O(b^n)，其中b>1和d是正。但我似乎无法理解为什么。任何帮助将不胜感激。

Answer 1

允许L = lim{n->inf} (n^d/b^n) => ln(L) = lim{n->inf} (d*ln(n) / (n*ln(b))) = (d/ln(b)) * lim{n->inf} (ln(n) / n) = (inf) / (inf) = (d/ln(b)) * lim{n->inf} (d/dn(ln(n)) / d/dn(n))（申请L-Hospital）

      = (d/ln(b)) * lim{n->inf} (1/n) / (1) = (d/ln(b)) * 0 = 0 

（自b>1，ln(b) > 0）

=> L = exp(0) = 1 < inf

自lim{n->inf} (n^d/b^n) < inf以来，我们可以在n^d=O(b^n)时说b>1（请参阅此O的替代定义：https://en.wikipedia.org/wiki/Big_O_notation）。

要点是exponential函数的增长速度比polynomials快。

Answer 2

示例：＆＃xA; d = 2

＆＃xA;＆＃xA;

f（2）= 4，f（3）= 9，f（4）= 16 ...... 。

＆＃xA;＆＃xA;

for：＆＃xA; d = 3

＆＃xA;＆＃xA;

f（2）= 8，f（3 ）= 21，f（4）= 64 ...＆＃xA;。＆＃xA;。＆＃xA;。

＆＃xA;＆＃xA;

所以只要n> 1 （你说的是b，但它是n）而d是正的＆＃xA;时间复杂度将是O（n ^ d）

＆＃xA;＆＃xA;

在这里你可以看到什么是功能的增长＆＃xA;

＆＃xA;

Answer 3

我认为我设法找到了@Sandipan Dey的替代解决方案。由于b> 1和d> 0，b ^（1 / d）>因此，log _{b ^{（1 / d）}} （n）＆lt; ñ。 接下来是，

  => log n / log (b^(1/d)) < n
  => d*logn < d*n*log (b^(1/d))
  => log (n^d) < log (b^((1/d)*n*d)))
  => n^d <= b^n

证明n ^ d是O（b ^ n）。