我的函数是O（n！），还是O（（n-1）！）更准确？

Question

我为旅行商问题编写了一个强力搜索算法，并对其进行了测试，以查看各种“城市”所需的时间。从下图中，我们可以看到时间与(n-1)!大致成比例，其中n是“城市”的数量。它与n!（毕竟，(n-1)! = n! / n）不成正比。

我的问题是，说这个算法是在O(n!)中运行还是正确的，还是我说O((n-1)!)更好？我以前从未见过后者，但似乎更准确。我似乎在这里误解了一些东西。

[t =所用时间，n =城市数量]

Answer 1

根据定义，O（f（n））是由f（n）渐近支配的所有函数的集合，即具有常数C和n_0的所有函数g（n）的集合，使得< / p>

g(n) < C * f(n)   for all n > n_0

根据这个定义，O（n！）实际上是O（（n-1）！）的超集，因为函数f（n）= n！是第一组的成员，但不是第二组的成员。这两套实际上并不相同。

但是，说你的问题是O（n！）是正确的，因为这只是一个上边界。说你的问题是Θ（n！）是不正确的，因为这表示直到常数因子的精确渐近行为。

在实践中没有太大的区别，并且，如另一个答案中所述，您可以将n重新定义为减去一个城市的数量。

Answer 2

one two已经足够了。对于大型O(n!)，n或n-1没有任何区别。

参见https://www.wikiwand.com/en/Time_complexity#/Table_of_common_time_complexities 举些例子。

Answer 3

你可以简单地证明：

O（（n-1）！）表示存在常数c，例如：

算法步骤（或者时间复杂度）＆lt; c（n-1）！ ＆LT; c n！/ n＆lt; c n！对于每个n> 1。

因此，您的for算法复杂度函数包含： 算法步骤（或时间复杂度）

你的算法也是O（n！）。

所以我们证明了如果算法的时间复杂度为O（（n-1）！），那么它也是O（n！）。

Answer 4

Sven Marnach的答案非常好，我只想详细说明这一部分：

  

或者我说O（（n-1）！）更好吗？

正如其他人所说，O(n)通常足够好。如果您想了解有关该问题的更多信息，可以尝试查找并证明：

• 下限（通常用Ω(n)表示）
• 紧上限

下限基本上表明，在某些情况下，没有算法可以渐进地解决问题。紧上限是与下限匹配的上限，即，您必须证明Ω(f(n))的下限和O(f(n))的上限。如果您可以证明下限和上限，则表示您的算法是该问题的渐近最优算法。

举一个具体的例子：你肯定知道排序算法，如合并排序或快速排序以及O(n log n))的上限。 Donald Knuth（几十年前）表明，基于比较的整数排序算法至少需要进行n log n次比较，即Ω(n log n)次运算。由于我们有一个匹配的上限，因此合并排序和快速排序都被称为渐近最优（尽管它们在实践中的性能差异很大）。