Question

循环在n个项目（如数组）上然后在（n-1）然后（n-2）上循环的算法的复杂性等等：

Loop(int[] array) {
  for (int i=0; i<array.Length; i++) {
     //do some thing

  }
}
Main() {
   Loop({1, 2, 3, 4}); 
   Loop({1, 2, 3}); 
   Loop({1, 2}); 
   Loop({1}); 
//What the complexity of this code.
}

以前的计划有多复杂？

Answer 1

假设您在循环中执行的操作是O(1)，其复杂性为O(n+(n-1)+(n-2)+...+1) = O(n(n+1)/2) = O(0.5n^2 + 0.5n) = O(n^2)

第一个=是算术序列和。
第二个=是打开乘法的。
第三个=是由于O()中的多项式给定，您只需将其替换为x^highest_power

Answer 2

<强>式：

               n*(n+1)
n + ... + 1 = ─────────
                  2

<强>证明：

n + ... + 1 = S

2*(n + ... + 1) = 2*S

n + n-1 + ... + 2   + 1 + 
1 + 2   + ... + n-1 + n = 2*S

n+1 + (n-1)+2 + ... + 2+(n-1) + 1+n = 2*S

n+1 + n+1 + ... + n+1 = 2*S

n*(n+1) = 2*S 

S = n*(n+1)/2 = (n*n+n)/2

可是：

 n*n     n*n + n          n*n
───── < ───────── = S < ─────── < n*n
  2         2              2

我们的总和低于n*n（对于每个n，但对于每个n > n0来说都足够了<）
n*n位于 O（n ²）

从（1）和（2）=＆gt;我们的总和是 O（n ²）。

如果我们使用下限（n*n/2），我们也可以说它是Ω（n ²）然后是 Θ（N ²）

正式定义

你也可以根据形式定义来证明这一点，但我发现上面的解释比较直观。

f（n）= O（g（n））表示存在正常数c和n0，因此对于所有n≥n0，0≤f（n）≤cg（n）。对于函数f，c和n0的值必须是固定的，并且不能取决于n。

f(n) = (n*n+n)/2 g(n) = n*n

只需选择n0 = 1和c = 2即可获得：

0 ≤ (n*n+n)/2 ≤ 2*n*n 0 ≤ n*n+n ≤ 4*n*n 0 ≤ n ≤ 3*n*n

对于每个n ≥ n0=1来说显然都是正确的。

通常，如果在选择常量时遇到问题，请使用更大的值。例如：n0=10，c=100。有时它会更明显。

复杂性时间O（n）或O（n（n + 1）/ 2）

2 个答案: