比较O（2 / n）和O（1）的时间复杂度

Question

如果有2个函数的时间复杂度为O（2 / n）和O（100）。哪个功能的执行时间较短？是否存在时间复杂度为2 / n的实际函数？ （在一些算法问题文件中找到了这个）

Answer 1

首先，在O表示法（以及Theta和Omega）中，您可以忽略任何常量，因为the definition已经包含“对于某些常量 k ”的部分。

因此，基本上，O（100）相当于O（1），而O（2 / n）相当于O（1 / n）。哪个具有更快的执行时间 - 取决于 n 。如果我假设 100 和 2 / n 直接用于计算执行时间，则执行时间为：

在所有情况下 O（100）的
• 100 （时间单位）
• 超过 100 （时间单位） O（2 / n） n＆lt; 0.02
• 小于 100 （时间单位） O（2 / n） n> = 0.02

现在，我希望这个问题纯粹是理论上的，因为实际上没有O（1 / n）复杂度的算法 - 这意味着它需要更少的时间（那是注意时间）每个数据量，这只是时间）它需要处理的数据越多。我希望这很清楚，没有算法可以将 0 时间用于无限量的数据。

另一个复杂性，O（100）是一种算法，无论输入数据是什么，都采用相同的步骤，因此始终具有恒定的执行时间（实际上，它只需要由常量限制，它可以有时运行得更快）。一个示例是从整数文件中读取输入的程序，然后返回该文件中前100个数字的总和或者如果不存在100个数字则返回所有数字的总和。因为它总是最多读取100个数字（其余部分可以忽略）并对它们求和，所以它由一定数量的步骤限制。

Answer 2

当然它取决于N的值.O（100）基本上是固定时间，并且可能比O（2 / N）更快或更慢，这取决于n是什么。

我无法想到一个O（2 / N）算法，随着数据的增加会变得更快......听起来有点奇怪。

Answer 3

执行任何操作的O(2/n)算法几乎是不可能的。

算法是产生结果的有限步骤序列。由于计算机上的“步骤”需要一定的时间（例如至少一个CPU周期），因此算法可以具有O(2/n)时间的唯一方法是，如果它需要零时间足够大n。因此它什么也没做。

不考虑算法和时间复杂度：O(2/n)函数是“小于”常数，因为O(2/n)函数必然倾向于0，因为n倾向于无穷大，而{{1}函数不一定那样做。

对本文中问题文本的评论：O(1)的任何函数也是O(100)，O(1)的任何函数也是O(2/n)。在那里用不必要的常量编写big-O并没有多大意义，但是因为它是一个考试，也许它可能会让你感到困惑。

Answer 4

我不熟悉任何运行O(2/n)运算时间的算法，我怀疑它可以存在，但让我们来看看数学上的问题。

数学问题应该是：（1）O(2/n)是O(1) ¹ 的子集（2）O(1)是O(2/n)的子集}？

1. 是肯定的。让f(n)成为O(2/n)中的函数 - 这意味着存在常量c，N，以便每个n > N：c*f(n) < 2/n。还有常量c2,N2，每个c*2/n < 1 n > N2，min{c1,c2} * f(n) < 1 n > max{N1,N2}。O(2/n)。因此O(1)是lim(2/n) = 0

的子集

2. 没有。由于c,N位于无穷大，对于每个n>N，2/n < 1*c f(n) = 2/n因此O(1)不在O(2/n)，而它是O(2/n)在O(1)

结论： O(2/n)的函数也是O(100) - 但不是相反。
这意味着 - O(1) = O(100)中的每个函数都“缩小”然后为1。

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（1）它与{{1}}相同，因为{{1}}