Question

总和O(1)+O(2)+ .... +O(n)评估为什么？

我已经在某处写过它的解决方案：

O(n(n+1) / 2) = O(n^2)

但我对此感到不满意因为O(1) = O(2) = constant，所以根据我的说法，它必须仅评估为O(n)。我也在Cormen看过这个：

Σ(i=1 to n) O(i)

在上面的表达式中，只有一个匿名函数。此功能与O(1) + O(2) + ... + O(n)不同，后者实际上没有清晰的解释。

Answer 1

这个问题似乎完全是主题，因为有一个标签asymptotic_complexity ...

根据CLRS，p。 49，

“表达式中匿名函数的数量被理解为等于渐近符号出现的次数。例如，在表达式中

sum（O（i），i = 1..n）

只有一个匿名函数（i的函数）。因此，这个表达式与O（1）+ O（2）+ ... + O（n）不同，它实际上没有一个干净的解释“

实际上，在你的公式中，“O”符号背后的常数可能都是不同的，它们的增长可能会改变整个和的渐近行为。不要写这个！

为了更完整地回答你的问题，总而言之（O（i），i = 1..n），您可以使用以下事实（参见GKP第450页）

O（f（n）g（n））= f（n）O（g（n））

因此，O（i）= i O（1），这次在公式中使用相同的O（1）。因此，

sum（O（i），i = 1..n）= sum（i，i = 1，n）O（1）

= n（n + 1）/ 2 O（1）= O（n ^ 2）

这样你就可以毫无困难地消除你的总和。

Answer 2

按照Big-Oh表示法的定义。

您有n个函数f_i，每个函数都满足

a_i * i <= f_i(x) <= b_i * i; x > X_i

对于某些正常数a_i, b_i和足够大的X_i。让X = max_i ( X_i )并总结n不等式得到

sum_i=1..n ( a_i * i ) <= sum_i=1..n ( f_i(x) ) <= sum_i=1..n ( b_i * i )

注意到

sum_i=1..n ( min(a_i) * i ) <= sum_i=1..n ( a_i * i )
sum_i=1..n ( b_i * i )      <= sum_i=1..n ( max(b_i) * i )

到达

    min(a_i) * 0.5*(n(n-1))  <= sum_i=1..n ( f_i(x) ) <= max(b_i) * 0.5*(n(n-1))
<=>       A       * (n(n-1)) <= sum_i=1..n ( f_i(x) ) <=        B      *(n(n-1))

因此，您开始使用的函数总和确实是O(n^2)。

Answer 3

确定，O（1）和O（2）是一个常数，所以我们可以忘记它们。但是O（n / 2）是常数，我猜不是。所以尝试（为你的功课）只计算元素的后半部分：

O(n/2) + O(n/2+1) + ... O(n) = ??

你会想出O(n^2)：）

Answer 4

有一个技巧可以找到这个公式，真的不那么难。

你有： 1 + 2 + 3 + 4 + .... + n

如果您对列表进行两次计数（从高到低一次从低到高排序，则得到两倍的结果）

（（1 + 2 + 3 + 4 + ... + n）+（n +（n - 1）+（n - 2）... + 2 + 1））/ 2

这与

相同

（（1 + n）+（2 + n - 1）+（3 + n - 2）+ ... +（n + 1））/ 2

这是：

（（n + 1）* n）/ 2

或者我们正确的观念O（n²）。

O（1）+ O（2）+ .... + O（n）的阶数之和

4 个答案: