这个算法O（n）怎么样？

Question

通过重复操作，您可以在每次调用此函数时得出时间复杂度为：T(n) = 2T(n/2) + O(1)

重复树的高度为log2(n)，其中是调用的总数（即树中的节点）。

教师说这个函数的时间复杂度为O（n），但我根本看不出原因。

此外，当你将O（n）代入时间复杂度方程时，会有奇怪的结果。例如，

T（n）＆lt; = cn

T（n / 2）＆lt; =（cn）/ 2

回到原来的等式：

T（n）＆lt; = cn + 1

这显然不是真的，因为cn + 1 !< cn

Answer 1

你的导师是对的。这是Master theorem的应用。

你不能像在时间复杂度方程式中那样替换O（n），正确的替换将是像+ b一样的多项式形式，因为O（n）只显示最高有效度（可能有常数）较低程度）。

要扩展答案，您可以正确识别表单的时间复杂度等式 T(n) = aT(n/b) + f(n)，其中a = 2，b = 2且f（n）为渐近。等于O（1）。 对于这种类型的方程，您有三种情况取决于log_b（a）（递归成本）和f（n）的比较值（解决长度为n的基本问题的成本）： 1°f（n）比递归本身（log_b（a）＆lt; f（n））长得多，例如a = 2，b = 2和f（n）渐近。等于O（n ^ 16）。然后递归的复杂度可以忽略不计，总时间复杂度可以与f（n）的复杂度相吻合：

T(n) = f(n)

2°递归长于f（n）（log_b（a）> f（n）），这就是这里的情况那么复杂度是O（log_b（a）），在你的例子中是O（log_2） （2）），即O（n）。

3°f（n）== log_b（a）的关键情况，即存在k> = 0，使得f（n）= O（n ^ {log_b（a）} log ^ k（n ）），那么复杂性是：

T(n) = O(n^{log_b(a)} log^k+1 (a)}

在我看来，这是一个丑陋的案例。