为什么这个函数/循环O（log n）而不是O（n）？

Question

此功能为O（log（n））。为什么？它不是循环到n？

function fxn($n) {
    for ($i = 1; $i <= $n; $i *= 2)
        echo $i;
}

顺便说一句，我对O（n）分析很新。这个函数确实看起来是O（n），因为它循环到n。

Answer 1

它没有循环遍历所有元素，在每一步中它跳过上一步的两倍元素 - 因为$i *= 2部分。也就是说，假设$i以大于零的值开始，否则它是无限循环：$i在写入时始终为0。

Answer 2

注意：你的函数永远不会结束，因为你从0开始，0 * 2 = 0.我假设你的循环从1开始。

循环每次增加 2的倍数，这就是运行时为O(lg(n))的原因。

让我们考虑一个简单的例子，其中n = 128。

这里是每次迭代的i值：1,2,4,8,16,32,64,128。因此，你已经经历了8个值。

lg(128) = 7 (lg = log in base 2)
        = 8 - 1

请注意，- 1是一个常量，因此它不会影响我们的运行时计算。

如果循环递增1（或任何常数，k），则运行时将为O（n）。这里要考虑的重要一点是几何系列与算术系列之间的区别，它为您提供了不同的运行时。

Answer 3

这个循环是O（n）：

function fxn($n) {
    for ($i = 0; $i <= $n; $i++)
        echo $i;
}

因为$i采用了值：

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ..., n

但是这个循环只有O（log（n））：

function fxn($n) {
    for ($i = 1; $i <= $n; $i *= 2)
        echo $i;
}

因为$i采用了值：

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, ..., n

以这种方式增长的序列称为“对数”。

Answer 4

你的代码循环到n但不由一个（或任何常数值）循环，这将使它成为O（n）。

此就是它的作用：

       1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16
       |  |     |           |                       |
       +--+-----+-----------+-----------------------+
Steps    1    2        3               4

因为它每次都加倍，它实际上是O（log N），类似于二进制树搜索在每次迭代时将搜索空间减半的方式。