为什么log（）“O（log（n））”的Big-O而不是“O（n）”？

Question

互联网有很多资源解释Big-O的日志因子功能（例如1，2），O(n log(n))。

我不明白为什么log()有O(log(n))而不是O(n)。从下面的递归代码中，log_factorial基本上称为n次（转换为log()被称为n次），因此 if {{ 1}} log()，O(n) 应该是 log_factorial。

O(n^2)

查找互联网对我没什么帮助（相反，它让我更加困惑）。 Wikipedia说log_factorial <- function (n) { # Return the log of factorial(n) for any integer n > 0 if (n <= 1) return (0) return ( log(n) + log_factorial( n - 1 ) ) } 的Big-O应该取决于精度：

  

...计算自然对数（使用算术几何   mean）是O（M（n）ln n）。这里n是精度的位数   哪个是自然对数，而M（n）是   计算复杂性乘以两个n位数字。

为了获得经验答案，我绘制了运行时间与n（下图）的关系，实际上，对数因子不是二次方程式。

我显然在这里遗漏了一些东西，希望有人可以向我解释。 请原谅我，如果我的问题是'noob-ish'。

Answer 1

TL; DR：没有办法告诉Big-O log（n），只能告诉log（n）的具体实现。

您试图推断出您未完全指定的算法的Big-O。没有人知道你（或各种互联网资源）对于对数函数的实现。

我非常确定每一个不错的log（n）实现都会比O（n）执行得更好：log（1000000）不会比log（1000）长1000倍。

在评论中，给出了在O（logn）中执行log（n）的合理方法，我认为甚至可以有更好的方法。

对于数千范围内的值（如图表所示），我甚至可以给你一个带有预先计算的日志值表的O（1）解决方案。