Question

我有一个通用函数

for i from 1 to n; i = 2i; {
    for j from 1 to i; {
        (constant time stuff)
    }
}

对于此功能，我知道的第一行for i from 1 to n; i = 2i;是O（log（n））。 (constant time stuff)行无关紧要，因为它是O（1），所以谁在乎呢？

但是中线for j from 1 to i;是我遇到麻烦的地方。

我假设此行的Big O与第一行相同，因为它遵循与第一行相同的模式，其中i在每次迭代后都会加倍，这将使其变为O（log（n）），但也可能是O（n）吗？

此外，如果实际上是O（log（n））* O（log（n）），那是O（log（n）^ 2）正确吗？

对不起，我刚开始学习Big O，不幸的是，到目前为止，由于我的老师不是很好，我不得不依靠互联网：（

Answer 1

这个FOR循环是O（n log（n））还是O（log（n）^ 2）？

都不是。

外部循环迭代log n次。如果内部循环每次具有相同的迭代次数，则可以将外部循环的迭代次数乘以内部循环的操作次数。但这不是，所以我们不能。

实际上，我们实际上需要总结内部循环的迭代次数：第一次，迭代一次。第二次，两次。然后是四个，然后是八个，依此类推，直到最终到达n。因此，我们有总和1 + 2 + 4 + ... + n，在此我们知道该总和具有log n的总和，换句话说，就是k=0的{{1}}到n的总和。该总和恰好等于2^k。 2n-1显然位于2n-1中，所以这就是您的答案。

Answer 2

您有点滥用符号

  sum_{i=1..log n} ( sum_{j=1..2^i} O(1) )
= sum_{i=1..log n} (2^i * O(1))
= O(2^(log n + 1))
= O(n)

可以通过简单的归纳证明第二个但也是最后一个等价物：

  2^(n+1) 
= 2 * 2^n
= 2 * (sum_{i=0..n-1} (2^i) + 1)
= sum_{i=1..n} (2^i) + 2
= sum_{i=0..n} (2^i) + 1

具有基本情况n=1: 2^1 = 1+1 = 2^0+1。

大O：这是FOR循环O（n log（n））还是O（log（n）^ 2）？

2 个答案: