Question

考虑以下C函数：

int fun1 (int n)
{
    int i, j, k, p, q = 0;

    for (i = 1; i<n; ++i)
    {
        p = 0;

        for (j=n; j>1; j=j/2)
            ++p;

        for (k=1; k<p; k=k*2)
            ++q;
    }
    return q;
}

问题是要确定以下哪一项最接近函数fun1的返回值？

（A）n ^ 3
（B）n（logn）^ 2
（C）nlogn
（D）nlog（logn）

这是给出的解释：

int fun1 (int n)
{
    int i, j, k, p, q = 0;

    // This loop runs T(n) time 

    for (i = 1; i < n; ++i)
    {
        p = 0;

        // This loop runs T(Log Log n) time
        for (j=n; j > 1; j=j/2)
            ++p;

        // This loop runs T(Log Log n) time
        for (k=1; k < p; k=k*2)
            ++q;

    }
    return q;
}

但是，如果将循环变量除以/乘以常量，则循环的时间复杂度被视为O（Logn）。

for (int i = 1; i <=n; i *= c) {
    // some O(1) expressions
}

for (int i = n; i > 0; i /= c) {
    // some O(1) expressions
}

但是有人提到内部循环每个都需要Θ（Log Log n）时间，任何人都可以解释一下ar是错误的原因吗？

Answer 1

这个问题很棘手 - 代码的运行时和返回值之间存在差异。

第一个循环的运行时确实是O（log n），而不是O（log log n）。我在这里重印了它：

p = 0;
for (j=n; j > 1; j=j/2)
  ++p;

在每次迭代中，j的值下降两倍。这意味着该循环终止所需的步数由k的最小值给出，使得n / 2 ^k≤1。求解，我们看到k = O（log ₂ n）。

请注意，此循环的每次迭代都会将p的值增加1。这意味着在循环结束时，p的值是Θ（log n）。因此，下一个循环确实在时间O（log log n）中运行：

表示（k = 1; k

原因在于，使用与前一节类似的推理，此循环的运行时间为Θ（log p），并且由于p =Θ（log n），因此最终为Θ（log log n）

然而，问题是不询问运行时是什么。它询问返回值是什么。在每次迭代中，q的值（最终返回的值）增加Θ（log log n），因为它在时间Θ（log log n）中运行的循环的每次迭代增加一次。这意味着q的净值是Θ（n log log n）。因此，虽然算法在时间O（n log n）中运行，但返回的值为O（n log log n）。

希望这有帮助！

Answer 2

答案是（D）O（n * log（log n））。原因如下所述： -

第一个for循环包含其他2个for循环，它们分别基于j和k的值。此外，j从n减半，直到它大于1.因此，p将等于最大整数（log n）。并且，k加倍，直到它等于p ---其中p已经从前一个循环设置并且将等于[log n]，其中[x]等于x的最大整数。

因此，第三个循环将运行log（log n）时间，因此q的值将为log (log n)。因此，内部循环都是外部for循环的一部分，运行n次。

q = n * log（log n）的近似值= O（n log（log n））。

Answer 3

我在这里看到的唯一错误涉及第二个循环： for（j = n; j＆gt; 1; j = j / 2）你在评论中说：这个循环运行Θ（Log Log n）时间

在我看来，这个循环运行O（Log n）次

第一个和第三个循环的运行时间是正确的（O（n）和O（Log Log n））。

编辑：我同意之前的回答。我没有注意到问题是关于返回值，而不是运行时间！

为什么这个循环返回的值是O（n log log n）而不是O（n log n）？

3 个答案: