O（log n）和O（log（n + a））之间的区别

Question

我正在解决一个家庭作业问题，以简化重复操作并尝试找到上限。

我已经将方程式简化为O(log(n + 2))，并且想知道总体上是否：

O(log(n)) = O(log(n + a))是否代表任何a？

Answer 1

是的，可以说a完全独立于输入大小。目的是显示复杂度如何相对于输入数据的大小增加/减少。

Answer 2

是的，如果已知函数f是O(log n)，那么对于任何常量O(log(n + a))，它也是a。

看到我们计算出极限

lim log(n + a) / log(n) =
  = lim log(n (1 + a/n)) / log(n) =
  = lim (log(n) + log(1 + a/n)) / log(n) =
  = lim 1 + (log(1 + a/n)/log(n)) =
  = 1

随着n达到无穷大。接下来，由于f是O(log n)，使用lim sup definition of the Big O notation，我们得到：

C = lim sup f(n) / log(n) =
  = lim sup f(n) / log(n + a) * log(n + a) / log(n) =
  = (lim sup f(n) / log(n + a)) * 1

因此，lim sup f(n) / log(n + a)也受C的限制，因此，f是O(log(n + a))。