为什么这个卡特彼勒算法O（n ^ 2）不是O（n ^ 3）？

Question

有人可以解释为什么这个算法是O(n^2)？根据{{​​3}}，它是O（n ^ 2）。 我认为它是O（n ^ 3）的原因是因为外部循环（对于x）运行n次，内部循环（对于y）运行n-1次，并且在最差< / strong>场景例如A = [8, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107]，while循环（对于z）将运行n-2次，因此整体O(n^3)。

为了完整性，A是带有正元素的有序数组，三元组（x，y，z）是A[x] + A[y] > A[z]的三角形。查找可以从A构建的三角形。

        int TrianglesCount(int[] A)
        {
            int result = 0;
            for (int x = 0; x < A.Length; x++)
            {
                int z = x + 2;
                for (int y = x + 1; y < A.Length; y++)
                {
                    while (z < A.Length && A[x] + A[y] > A[z])
                        z++;
                    result += z - y - 1;
                }
            }
            return result;
        }

Answer 1

让我们仔细看看下面的代码片段

int z = x + 2;
for (int y = x + 1; y < A.Length; y++)
{
   while (z < A.Length && A[x] + A[y] > A[z])
      z++;
   result += z - y - 1;
}

for循环显然执行A.lenght - (x+1)次，即O(n)。但是，内部while循环总共执行A.length - (x+2)次，因为每次执行都会增加z的值，并且最多可以递增A.length - (x+2)次，直到while条件失败。同样，这最多只是O(n)。因此，此代码段的总时间复杂度可以由O(n) + O(n) = O(n)限制。

由于针对O(n)的每个x值运行了代码段，因此整体时间复杂度为O(n^2)。

在KMP algorithm中使用类似的想法进行字符串匹配。

Answer 2

您应该注意z在x-loop内初始化，而不是y-loop。并且在每次x迭代z可以增加最多A.length - x - 2次。

Answer 3

诀窍在于z增加in total直到A.Length： 例如。如果我们在第一次迭代中感到不幸：

• x = 0，y = 1，我们得到z从2到A.Length，在随后的y循环中，z根本不会递增。

Answer 4

以下是我对此的解释。

首先，当n很小时，你不能谈论复杂性。复杂性的定义本身表明，当n倾向于无穷大时，复杂性只是“意味着什么”。例如，具有3个元素的数组上的冒泡排序可能看起来像O（n）。

从这个等式中取出，这是关于你的算法：

变量z在x循环内声明，而不是y循环，因此每次y循环完成时z都不会重新初始化。这意味着在x循环的每次传递中z将仅增加到A.length。一旦z达到A.length，它将不再增加，因此它不依赖于y循环。我希望这个解释是充分的，现在这个问题对你来说更清楚了。