Question

我正在接受McDowell撰写的“ Cracking the Coding Interview”，我对一种算法有疑问（这是第六版第69页的最后一个程序）。我在下面使用Python编写了它。对于a，b，c，d为1到1000的整数，应该找到a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 + d ^ 2的时间。显然，它在O（n ^ 2）时间内运行。我知道双循环为O（n ^ 2），但我看不到如何分析随后的三重循环。显然它是O（n ^ 2）或更小，但我不知道为什么。

# This algorithm solves the above problem by making a 
# key for every unique a^2+b^2 sum... then the value for each key is
# a list of a,b tuples that I append to every time there is another a,b 
# with a given a^2+b^2 sum.
# Note that since a,b,c,d each on their own can take on any value 
# from 1 to 1000, we don't ever have to create the c^2+d^2 values
# since they will be the same as the a^2+b^2 values (the triple loop
# takes care of that idea).

sum_pair_dict = {}

n = 1001
for a in range(1,n):
    for b in range(1, n):
        sum = a**2 + b**2
        if sum in sum_pair_dict:
            sum_pair_dict[sum].append((a,b))
        else:
            sum_pair_dict[sum] = [(a,b)]

for a_sum, pair_list in sum_pair_dict.items():
    for pair1 in pair_list:
        for pair2 in pair_list:
            print(pair1, pair2)

Answer 1

实际算法包含在仅前两个for循环中。这样就可以进行实际处理（求解方程式）
确实，第二个 3个嵌套循环在O（n ^ 3）中运行，它们仅用于打印结果，并且实际上没有进行任何处理

Answer 2

这实际上是一个非常合理的问题，但是需要一些上下文来了解原因。 McDowell提供的前四个解决方案都是print解决方案，是求解方程式的一部分。例如，先前的四个解决方案之一是：

def solve_brute_force(n):
    for a in range(1, n):
        for b in range(1, n):
            for c in range(1, n):
                for d in range(1, n):
                    if a**3 + b**3 == c**3 + d**3:
                        print(a, b, c, d)

McDowell的最终解决方案实际上无法与之前的四个解决方案相比，因为它将打印解决方案与求解方程式分开。所以那不是很好。但我变得更糟：

如果print的代码被删除，而我们仅运行实际算法（如@molamk所说）：

def solve(n):
    sum_pair_dict = {}

    for a in range(1,n):
        for b in range(1, n):
            sum = a**2 + b**2
            if sum in sum_pair_dict:
                sum_pair_dict[sum].append((a,b))
            else:
                sum_pair_dict[sum] = [(a,b)]

    # just dump the results
    print(sum_pair_dict)

假设我们求解n = 4，我们得到：

{
  2: [(1, 1)],
  9: [(1, 2), (2, 1)],
  28: [(1, 3), (3, 1)],
  16: [(2, 2)],
  35: [(2, 3), (3, 2)],
  54: [(3, 3)]
}

这是（IMO）和中间格式，可用于得出解决方案。例如，有效的解决方案是a=1，b=1，c=1，d=1。结果（sum_pair_dict1中未显示。 a=2，b=2，c=2，d=2和a=3，b=3，c=3，d=3都不

实际上，不仅缺少a=b=c=d的结果，而且还有很多结果。要获得这些结果，需要以下循环：

for a_sum, pair_list in sum_pair_dict.items():
    for pair1 in pair_list:
        for pair2 in pair_list:
            print(pair1, pair2)

好多了，现在我们看到了缺少的结果：

(1, 1) (1, 1) <------
(1, 2) (1, 2)
(1, 2) (2, 1) <------
(2, 1) (1, 2) <------
(2, 1) (2, 1) <------
(1, 3) (1, 3) <------
(1, 3) (3, 1)
(3, 1) (1, 3) <------
(3, 1) (3, 1) <------
(2, 2) (2, 2) <------
(2, 3) (2, 3) <------
(2, 3) (3, 2)
(3, 2) (2, 3) <------
(3, 2) (3, 2) <------
(3, 3) (3, 3) <------

@okcapp，我认为这值得更正，可以在https://careercup.wufoo.com/forms/cracking-the-book-bug-report/提交

为什么该脚本的运行时为O（n ^ 2）？

2 个答案: