为什么O（2 ^ n）与O（2 ^（n / 2））不同？

Question

请考虑一本书中的以下问题，该书试图解释“中间会议”技术-https://cses.fi/book/book.pdf（第54页，PDF p64）

  

作为一个例子，考虑一个给定n个数字和一个x的列表的问题，我们想找出是否有可能从列表中选择一些数字，使它们的和为x。例如，给定列表[2,4,5,9]且x = 15，我们可以选择数字[2,4,9]得到2 + 4 + 9 =15。但是，如果x = 10相同的列表，无法形成总和。

     

...

     

解决该问题的简单算法是遍历元素的所有子集，并检查任何子集的总和是否为x。这种算法的运行时间为O（2 ⁿ ），因为有2 ⁿ 个子集。但是，使用中间技术中的Meet，我们可以实现更有效的O（2 ^{n / 2} ）时间算法。注意O（2 ⁿ ）和O（2 ^{n / 2} ）是不同的复杂度，因为2 ^{n / 2} 等于√2^ n。

1. 通过拆分子集，他们正在扎根Big Oh时间。但是到底为什么这与原始的2 ⁿ 有所不同？

2. 说这两次是不同的。区别真的那么重要吗？

3. 它们为什么不递归地归结为仅具有一个元素集和2 ^ 1个子集的基本情况（例如在合并排序中）？如果将它们加在一起，是否可以提高效率？

PS：我知道这本书对C ++不好，但是我将它更多地用于算法说明。

Answer 1

假设它们是相同的。然后您可以说 2 ⁿ = O（2 ^{n / 2} ）。这意味着存在一些 c> 0 和一个 n'，这样对于所有 n> n'

2 ⁿ n / 2 。

将两边分开，就等于说，对于所有 n> n'，

2 ^{n / 2} 。

这显然是不可能的，因为左侧会以足够大的 n 到达无穷大，因此它不受任何 c 的限制。