Question

function multiply(x, y)
  Input: Two n-bit integers x and y, where y ≥ 0 Output: Their product
  if y=0: return 0 
  z = multiply(x, ⌊y/2⌋) 
  if y is even:
    return 2z 
  else:
    return x + 2z

如我的问题所述，为什么这个函数是O（n ^ 2）？这是上述例子所属的书的解释：

它必须在n次递归调用后终止，因为在每次调用y时减半 - 也就是说，它的位数减少1。每个递归调用都需要这些操作：除以2（右移）;奇数/偶数的测试（查找最后一位）;乘以2（左移）;并且可能是一个加法，总共O（n）位操作。因此，总时间是O（n ^ 2），就像之前一样。

由于左移和右移除2和乘法，我认为它会比O（n ^ 2）大..也许n ^ 3.

Answer 1

每个操作右移，测试，左移每个位占用固定的时间，因此每次递归完成O（n）次。请记住，O（3n）仍然是O（n）。

由于整个函数使用左移递归地应用于每个位，因此先前的O（n）步执行O（n）次，使得总复杂度为O（n ^ 2）。

Answer 2

这是comp-sci教科书还是VLSI教科书？因为答案取决于操作的复杂性y == 0，y / 2,2z，x + 2z和“y是偶数”。

作为应用程序开发人员，我认为这些是常量时间操作，因此它们都是O（1）。乘法函数则是O（log（Y））或O（N），其中N是Y中的位数。同样的事情。因此，我得出结论，整个函数是O（N）。

现在，计算机工程师可能会争辩说y / 2需要移位N位，因此它是O（N）操作。可能有一些CPU以这种方式工作。请允许我暂时荒谬，并争辩说我可以为y == 0创建一个带O（N ^ 47）的实现，因此这个函数是O（N ^ 48）。： - ）

实际上，任何现代的N位处理器都会并行执行N位数的位移，因此它们实际上是O（1）。也许回到8088，情况并非如此，但任何现代设计都是如此。所以在实践中我认为这是O（N）而不是O（N ^ 2）

为什么这个算法是O（n ^ 2）

2 个答案: