为什么这个算法的运行时间（n ^ 2）*（n ^ 2 + 1）/ 2（即O（n / 4））？

Question

所以，我的导师给我们的问题让我们找到了这个算法的运行时间：

{n > 0}
    i := 1;
    while i ≤ n^2
    j := 1;
    while j ≤ i
        j := j + 1;
    endwhile
    i := i + 1;
endwhile

在解决方案中，这里的运行时是 n ^ 2（n ^ 2 + 1）/ 2，即Θ（n ^ 4）。

所以，我得到第一个while循环的运行时间为n ^ 2，但为什么第二个循环的运行时间为（n ^ 2 + 1）/ 2。

提前感谢您的帮助。

Answer 1

第二个循环执行i次。

因此，如果i从1变为n^2，则运行时间为

1 + 2 + 3 + ... + n^2 

现在请注意

1 + 2 + ... + k = k*(k+1)/2

因此，如果您将k替换为n^2，则会在n^2*(n^2+1)中获得运行时。 我认为正确的身份是：

{n > 0}
    i := 1;
    while i ≤ n*n
      j := 1;
      while j ≤ i
        j := j + 1;
      endwhile
      i := i + 1;
endwhile