Question

这基本上是将n个目的地连接到尽可能少的道路的问题。

输入是一组顶点（a，b，...，n）

很容易计算两个顶点之间边的权重（例如两个顶点之间的笛卡尔距离）

我想要一个在欧几里得空间中给出一组顶点的算法，返回一组边，这些边构成一个连通图，边的总重量尽可能小。

在图形语言中，这是连通图的最小生成树。

我会蛮力：

定义所有顶点之间的所有可能边 - 比如你有n 顶点，然后在完整图中有n（n-1）/ 2条边
可能的边缘可以打开或关闭（2个状态）
打开/关闭所有可能的边缘组合：2 ^（n（n-1）/ 2）！
忽略所有那些无法连接的人图
从剩余的组合中，找到其总和的那个边权重是所有

我知道这是一个NP-Hard问题。但是，实际上对于我的应用程序，我将最多有11个顶点。我希望能够在典型的现代智能手机上解决这个问题，或者至少在小型服务器上解决这个问题。

作为第二种变体，我希望获得相同的目标，并限制每个顶点连接到最多一个其他顶点。只要图形连接，基本上从任何点开始获得单个跟踪，并在任何其他点完成。没有必要回到你开始的地方。 在图形语言中，这是开放欧几里德旅行商问题。

一些伪代码算法会有很大帮助。

Answer 1

好的第一个问题是你需要建立一个Minimum Spanning Tree。有几种算法可以实现，Prim和Kruskal。但是，请查看完整图表处理的第一个链接，这是您的情况。

对于第二个问题，它变得有点复杂。问题变为开放Traveling Salesman Problem（oTSP）。阅读上一个链接可能集中在欧几里德和非对称上。

问候

Answer 2

也许您可以尝试greedy算法：

1. Create a list sortedList that stores each pair of nodes i and j and is sorted by the 
   weight w(i,j).
2. Create a HashSet connectedNodes that is empty at the beginning
3. while (connectedNodes.size() < n)
     element := first element of sortedList
     if (connectedNodes.isEmpty())
       connectedNodes.put(element.nodeI);
       connectedNodes.put(element.nodeJ);
       delete element from sortedList
     else 
       for(element in sortedList) //start again with the first
         if(connectedNodes.get(element.nodeI) || connectedNodes.get(element.nodeJ))
           if(!(connectedNodes.get(element.nodeI) && connectedNodes.get(element.nodeJ)))
              //so it does not include already both nodes
              connectedNodes.put(element.nodeI);
              connectedNodes.put(element.nodeJ);
              delete element from sortedList
              break;
           else 
              continue;

所以我稍微解释一下第3步：

添加长节点，直到所有节点彼此连接。确保图表已连接，因为您只需添加一个节点，如果他与已在connectedNodes列表中的另一个节点有连接。

所以这个算法是贪婪的，它不能确保解决方案是最优的。但它是一个非常好的近似值，因为它总是占用最短的边缘（因为sortedList按边缘的权重排序）。

哟不会在duplicates中获得connectedNodes，因为它是HashSet，这也使运行时更快。

总而言之，运行时应该是O（n ^ 2），用于在开头和低于O（n ^ 3）的排序，因为在最坏的情况下，你在每个步骤中运行整个列表的大小n ^ 2你做n次，因为你在每一步中添加一个元素。

但更可能的是，你发现一个元素比O（n ^ 2）快得多，我认为在大多数情况下它是O（n）。

Answer 3

你可以用optimap tsp求解器fron gebweb或线性程序求解器来解决travelsalesman问题和汉密尔顿路径问题。但第一个问题似乎要求最小生成树可能问题标签是错误的吗？

Answer 4

对于第一个问题，有一个O(n^2 * 2^n)时间算法。基本上，您可以使用dynamic programming来缩小搜索空间。假设所有顶点的集合都是V，因此状态空间由V的所有子集组成，目标函数f(S)是连接顶点的边的权重的最小总和。 S。对于每个州S，您可以枚举所有边(u, v) u S，v位于V - S，并更新{ {1}}。检查完所有可能的状态后，最佳答案为f(S + {v})。

以下是用于说明该想法的示例代码，但它是以后向方式实现的。

f(V)

对于第二个问题，对不起，我不太明白。也许你应该提供一些例子？

将一组顶点连接到最佳加权图形

4 个答案: