是否有算法在加权图中找到最佳的顶点对而不重复？

Question

在具有偶数个顶点的完整加权图中，是否有任何有效的算法可以找到具有以下属性的边集。

• 该集合具有最小的最大边缘权重，适用于任何可能符合其他标准的集合
• 每个顶点都连接到集合
中的一条边

所有权重均为正

我想不出一个比蛮力更好的东西，但我不认为它是NP难。

Answer 1

在多项式时间内解决此问题的一种方法如下：

1. 在O（E log E）时间
中对边缘权重进行排序
2. 对于每个边缘，在~O（E）时间内为其分配一个伪权重E'= 2 ^ {在排序中的位置
3. 在O（V ^ 3）时间内找到伪权重之间的最小权重完全匹配（取决于您选择的算法，它可能更慢或更快）

这最大限度地减少了完美匹配所包含的最大边缘，这正是您在O（V ^ 3）时间内所寻找的。

下文给出了如何进行第3部分的来源 [1] http://www2.isye.gatech.edu/~wcook/papers/match_ijoc.pdf
[2] http://www.cs.illinois.edu/class/sp10/cs598csc/Lectures/Lecture11.pdf
[3] http://www.cs.ucl.ac.uk/staff/V.Kolmogorov/papers/blossom5.ps

在http://ciju.wordpress.com/2008/08/10/min-cost-perfect-matching/

处提供示例C ++源代码

Answer 2

试试这个（我只是想到这一点，所以我既没有得到最佳答案的证据，也没有在每种情况下产生解决方案）：

1. 搜索最重的顶点V（A，B）
2. 从图表中移除顶点V
3. 如果A仅连接到单个其他顶点T（A，C），则删除连接到C的所有其他边，同样重复步骤3
4. 如果B仅连接到单个其他顶点S（B，D），则删除连接到D的所有其他边，同样重复步骤4
5. 从步骤＃1重复