具有加权顶点的树中最小权重的顶点覆盖

Question

给定一个具有无向边的树，其中顶点的权重是其度，找到最小权重的顶点覆盖。

这就是我的想法：

由于顶点覆盖需要包含足够的顶点来覆盖所有边，这意味着无论覆盖中的顶点如何，所有顶点的权重之和都将相同（等于边数） 。因此，我们不需要任何特殊的算法来找到答案，我们只需要找到最小尺寸的顶点覆盖（覆盖最小顶点）。

这是正确的，还是我错过了一些明显的东西？

Answer 1

  

这是正确的，还是我错过了一些明显的东西？

两个具有相同边缘的顶点;如，...

A -- B -- C

Weights:
B = 2;
A = 1;
C = 1

{ A, C }和{ B }都是您定义的加权最小顶点覆盖。

只有{ B }是标准的最小顶点覆盖。

编辑： ...显示不同原因的更好示例：

A -- B -- C -- D

Weights:
B = 2;
C = 2;
A = 1;
D = 1

{ A, C }，{ B, D }，{ B, C }都是标准的最小顶点封面。

根据您的定义，只有{ A, C }和{ B, D }是加权最小顶点覆盖。直观地说，这是因为{ B, C }顶点覆盖率会使B -- C边缘计算两次。

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第一个反例示例反驳所有加权MVC（根据您的定义）是标准MVC。第二个反例证明所有标准MVC都是加权MVC。

经过一番思考......你是正确的，因为树的加权MVC是任何VC，其成本等于边数。

找到加权MVC实际上非常简单。如果你将树绘制出来，并从每一个级别中选择所有顶点（如果从第一级或第二级开始都无关紧要），你最终会得到一个有效的加权MVC（由于所有边都被覆盖，没有边缘被计算两次）。

...更一般地说，所有加权MVC的集合是不包含邻居的所有VC的集合。例如，在没有子节点的父树中，叶节点集也是有效的加权MVC。