Question

假设我有顶点u和v以及一些数字n。

如何计算每两个顶点之间有一条边的最短顶点序列的长度（边的权重之和）？

例如：

(u, e_1, u_2, e_2, ..., e_n, v)

序列以顶点u开头，以顶点v结尾，并且边缘为n。

Answer 1

由于允许重复，这可以通过Bellman-Ford算法的微小变化在多项式时间内求解。设OPT（v，i）表示使用i边缘到达v的最优成本，并且令w（x，y）表示顶点x和y之间的权重。然后我们有以下重复：

OPT（v，i + 1）= min {OPT（u，i）+ w（u，v）}，在所有边（u，v）上。

这可以在O（nm）中以自下而上的方式解决，其中m是边数。这是伪代码。

function computeShortestPath (u, v, n):
    foreach q in vertices:
        OPT[q][0] = inf;
    OPT[u][0] = 0;
    for (i = 1; i <= n; i++):
        foreach q in vertices:
            OPT[q][i] = inf;
        foreach (p,q) in edges:
            OPT[q][i] = min(OPT[q][i], OPT[p][i-1] + w[p][q]);
    return OPT[v][n];

请注意，如果不允许重复，则问题是哈密顿路径问题的推广，即NP-Hard。

Answer 2

这可以通过动态编程来完成。我们首先解决每个节点的“n-1”问题，从节点“u”开始，出口边缘为“v”，然后解为min(sum(sol(u,r),weight(r,v))) 该算法为O（n | vertices |）。

在有向加权图中寻找最短的顶点序列

2 个答案: