在无向加权图中连接3个顶点的最小总和权重，仅具有正边权重

Question

我正在寻找关于哪里可以开始寻找这个问题的解决方案的指示。

谷歌搜索了一段时间后，我发现的唯一问题是我的问题是minimum spanning tree。不同之处在于我不是在寻找跨越图中所有顶点的树，而是跨越3个给定顶点的树。

我不是在寻找一个完整的程序，而是在答案的大致方向上指示。

我的另一个想法是使用Dijkstra's algorithm运行3次搜索。我们的想法是通过组合不同的最短路径以某种方式找到最佳路径。我不知道如何做到这一点。

以下是我所说的图表类型的图形示例：

因此，任务是找到一种方法来找到连接任何3个椎体的最小总重量。

编辑：
我通过Dijkstra的algorithem运行3次搜索解决了这个问题。然后我通过添加所有uniqe边缘找到了连接3个顶点的最小总和权重的顶点。感谢所有的帮助：）

Answer 1

我很确定你可以用Dijkstra算法做到这一点，唯一的技巧是你不知道访问节点的顺序是什么，所以你必须尝试所有6个排序。

因此，如果您有节点A，B和C，对于第一个排序A，B，C，您将在A和B之间，B和C之间以及C和A之间运行Dijkstra。然后你'做下一个订单A，C，B。继续从那里开始。

Answer 2

算法1

我认为您使用Dijkstra的想法很好。

你可以通过尝试每个顶点x作为起点来计算和的最小值w（x，a）+ w（x，b）+ w（x，c）其中a，b，c是你想要连接的3个顶点，w（u，v）是用Dijkstra计算的最短路径。

我相信这个最小的和将是连接3个顶点的最小总和。

不幸的是，这意味着运行Djikstra 3.n次。

算法2

更好的方法是从每个要连接的节点运行Djikstra，并将距离存储到图中的每个节点。 （所以wa（x）是从x到a等的最短距离。）

然后您可以像以前一样迭代每个顶点x并计算和的最小值wa（x）+ wb（x）+ wc（x）

这相当于算法1，但由于Dijkstra仅运行3次，因此速度提高了n倍。

Answer 3

由于权重都是正数且图表是无向的限制，您可以使用Dijkstra算法解决问题，如建议的那样，让我们​​说有问题的节点是A，B ，C，全部在图G中。

• 从G开始运行Dijkstra：
  • A -> B
  • B -> C
  • C -> A

• 这些形成连接三个顶点的三角形的边缘。

  我们可以这样做，因为图表是无向的，这意味着A -> B的最短路径与B -> A的最短路径相同。

• 由于权重均为正数，因此连接A，B和C的最短路径将恰好包含两条边。 （假设你很高兴忽略了“三角形”中三条0重量路径引起的循环的可能替代解决方案）。
• 那么我们如何选择哪两条边？任何两条边都将连接所有三个顶点，因此我们可以消除三个中的任何一个，因此我们将消除最长的一个。

因此，该算法将以与Dijkstra算法相同的时间复杂度进行。

Answer 4

看起来像generalization of minimum Steiner tree problem。