在两个顶点之间的无向图中查找特定边

Question

我正在尝试使用图论来编写抽象算法。

给定无向和未加权的图G =（V，E），两个顶点：m，n∈V和特定边e∈E。我想检查边e是否是m和n之间所有最短路径的一部分。

我的算法：

1. 从m进行BFS扫描，直到达到n。 \\ O（V + E）
2. int temp＆lt; - d [n] \\ O（1）
3. boolean ret \\ O（1）
4. 从G. \\ O（1）
中取出边缘e

5. 从m进行BFS扫描，直到达到n \\ O（V + E）

   • 如果d [n] =∞，则返回＆lt; - true
   • 如果d [n] == temp，ret＆lt; - false
   • 如果d [n]> temp，ret＆lt; - true

6. 将边e返回到G. \\ O（1）

7. return ret

时间复杂度分析： O（V + E）

内存分析：临时和退出的额外O（2）。

你怎么说？这是正确的，还是你有更好的想法，时间复杂度更低？

Answer 1

不会是O（V + E）。广度优先搜索中最糟糕的情况是搜索了每个边缘，此时如果未找到该节点，则搜索失败。这使得本节的复杂度为O（| E |），因为这是主导计算，所有其他O（1），复杂度为O（| E |）。

Answer 2

您的算法似乎是正确的，并且确实会发现e是否参与了所有未加权的最短路径。

<强>证明：

• 如果e位于所有最短路径中 - ＆gt;删除e将取消所有这一切 路径 - ＆gt;新的最短路径将比旧路径更长 - ＆gt;算法产生正确的答案。
• 如果e没有参与某个最短路径（让它为p） - ＆gt;删除e后，路径p仍然存在，因此从m到n的最短距离保持不变 - ＆gt;算法得出正确的答案。

然而，您的记忆分析是错误的。

对于访问集，BFS需要O(V)额外空间 - 因此额外空间为O(V)