Question

图G是无向图，其所有边是＆＃39;重量是一样的。 u，v是2个给定顶点，如何在O（| V |）中找到图G中u和v之间的最短路径数？

| V |代表G中的顶点数。

Answer 1

您可以使用BFS的计数变化。

这个想法是保存一个映射dict:(v,depth)->#paths的字典（条目是顶点和当前深度，值是从源到此顶点的路径数，具有所需的深度）。

在BFS的每次迭代中，您都会跟踪路径的当前深度，并将找到的路径数添加到下一级。

如果您有3条通向x的路径和4条通往y的路径，深度为3，且两条都有边(x,u),(y,u) - 那么有7条路径可供选择到u - 导致x +（x，u）的3，导致y +（y，u）的4。

看起来应该是这样的：

findNumPaths(s,t):
   dict = {} //empty dictionary
   dict[(s,0)] = 1 //empty path
   queue <- new Queue()
   queue.add((s,0))
   lastDepth = -1
   while (!queue.isEmpty())
       (v,depth) = queue.pop()
       if depth > lastDepth && (t,lastDepth) is in dict: //found all shortest paths
            break
       for each edge (v,u):
           if (u,depth+1) is not entry in dict:
               dict[(u,depth+1)] = 0
               queue.push((u,depth+1)) //add u with depth+1 only once, no need for more!
           dict[(u,depth+1)] = dict[(u,depth+1)] + dict[v,depth]

       lastDepth = depth
   return dic[t]

如果使用字典哈希表，则运行时间为O（V + E）。

另一种解决方案（更容易编程但效率更低）是：

 1. Build the adjacency  matrix of the graph, let it be `A`. 
 2. Set `Curr = I` (identity matrix)
 3. while Curr[s][t] != 0:
    3.1. Calculate Curr = Curr * A //matrix multiplication
 4. Return Curr[s][t]

其有效的原因是(A^n)[x][y]是图n代表A到x的尺寸y的路径数。我们找到第一个高于零的数字，并返回路径数。

如何在无向图中找到两个给定顶点之间的所有最短路径？

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