两个指定顶点之间的最短两条不相交路径

Question

给定加权无向图 G 和两个顶点 a，b ，我们希望找到两条路径 a - ＆gt; b 和 b - ＆gt; a 使得它们不共享任何边缘，并且使得两个路径中的边缘权重之和最小。最多可以有 1,000 个顶点，最多可达 10,000 个边缘。

我最初尝试提出动态编程方法，但找不到这样的方法。任何想法/建议都将非常感激。

Answer 1

这是Minimum-cost flow problem。您可以为每条边等于1分配流量，然后在 a 和 b 之间搜索最小成本流量，其中flow = 2。

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有人可能会认为可以使用简单的算法来查找从 a 到 b 的最短路径，从图中移除其边缘，然后找到另一条最短路径

这种方法并不总是最佳的。对于某些图表，它给出了一个很好的近似值。对于其他人来说，它可能会给出非常糟糕的解决方案：

此处在移除第一条最短路径（绿色）的边缘后，唯一剩余的路径（红色）非常重。该解决方案的成本是1 + 1 + 10 + 1 + 1 + 2 + 90 + 2 = 108。虽然最优成本是1 + 15 + 1 + 2 + 1 + 10 + 1 + 2 = 32。