最短的两条不相交的路径;两个来源和两个目的地

Question

我们获得了未加权的无向图 G =（V，E） ，其中 | V | ＆lt; = 40,000 和 | E | ＆lt; = 10 ⁶ 。我们还给出了四个顶点 a，b，a'，b'。有没有办法找到两个节点不相交的路径 a - ＆gt; a'和 b - ＆gt; b'这样他们的长度总和是最小的？我首先想到的是首先找到最短的路径 a - ＆gt; a'，将其从图表中删除，然后找到最短路径 b - ＆gt; B'即可。我不认为这种贪婪的做法会起作用。

注意：在整个应用程序中， a 和 b 是固定的，而 a'和 b'在每个查询中进行更改，因此使用预计算以提供有效查询的解决方案将更为可取。另请注意，只需要最小长度总和，而不是实际路径。

非常感谢任何帮助，想法或建议。非常感谢提前！

Answer 1

这可能会减少到最短的边缘不相交路径问题：

1. （可选）将图表中的所有链折叠成单个边。这会产生较小的加权图（如果原始图中有任何链）。
2. 通过用一对有向边代替每条边来将无向图转换为有向图。
3. 将每个节点拆分为一对节点：一个节点只有原始节点的入口边缘，另一个节点只有其出局边缘。使用单个有向边连接每对节点。 （例如，下图中的节点 c 应分为 c1 和 c2 ;现在每个路径都包含节点 c 在原始图表中应该通过转换后的图形中的边缘 c1 - > c2 ;此处 x 和 y < / strong>表示图中除节点 c ）之外的所有节点。



现在，如果 a = b 或 a' = b'，您会遇到完全相同的问题在previous question（Minimum-cost flow problem中，可以通过为每条边等于1分配流量来解决，然后在a和b之间搜索最小成本流，其中flow = 2）。如果 a ！= b ，您只需创建一个公共源节点，并将 a 和 b 连接到该节点。如果 a'！= b'，请对公共目标节点执行相同操作。

但如果 a ！= b 且 a'！= b'，则最低成本流量问题不适用。相反，这个问题可以解决为Multi-commodity flow problem。

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我以前的（不正确的）解决方案是连接两对（ a ， b ）和（ a'， b） '）到公共源/目标节点，然后找到最小成本流。下图是此方法的反例：

Answer 2

这个怎么样？ BFS（广度优先搜索）遍历a1 - ＆gt; a2并删除路径并计算BFS b1 - ＆gt; B2。现在重置图表并首先对b1-＆gt; b2执行相同操作并删除路径，然后再执行a1-＆gt; a2。 无论总和是多少都是答案。