使用加权顶点在图中查找路径

Question

我有以下图表，其中每个顶点都有一个相关的“概率” （graph with weighted nodes）。

我想找到从节点0到最后一个节点（最高索引，这里是5）的路径，它具有最高的乘法概率。在此图中，最佳路径为0-1-4-5，概率为0.72。

我已经考虑过使用BFS来查找起始节点和结束节点之间的所有路径，然后将每个节点的概率相乘，但我认为它对于所有图形的工作方式来说太过分了。我怎么能用python解决这个问题？

Answer 1

正如朱利安所说，Dijkstra's algorithm将是一个良好的开端。您的问题与普通Dijkstra之间存在两个差异。

1. Dijkstra算法最小化权重之和。为了最大化概率乘积，您可以将每个权重p映射到-log(p)。快速校对：最大化(x1*x2*...*xn)的产品与最大化log(x1*x2*...*xn)相同，因为log是monotonically increasing。 argmax(log(x1*x2*...*xn)) = argmax(log(x1)+log(x2)+...+log(xn)) = argmin(-log(x1)-log(x2)-...-log(xn)))。请注意，如果您想要得到概率，则可以通过10^(-c)来反转您的结果，其中c是Dijkstra使用上述减少返回的最低成本（假设您使用基数为10的日志）。另请注意，如果任何概率为0，则log(0)未定义，因此您应通过使权重无限来处理此问题（因此路径永远不会通过该节点）。

2. Dijkstra使用加权边，而你有加权节点。但它是从加权节点到加权边缘的简单缩减。使用u定义从v到edge_weight(u,v) = vertex_weight(v)的边的权重。根据您的图片判断，您有一个无向图，因此您需要使用与上述相同的权重替换每个无向边和两个有向边（注意两个顶点u和{{1之间的两条边除非v），否则会有不同的权重。此外，如果您想要返回最短路径的值，则需要将vertex_weight(u) == vertex_weight(v)添加到最终费用中，因为此费用会在减少时跳过。