有向非循环图中两个顶点之间的最大加权路径

Question

喜欢这个问题的一些指导：

G是有向无环图。您想要从顶点c移动到顶点z。一些边缘会降低您的利润，一些会增加您的利润。如何在最大化利润的同时从c到z。什么是时间复杂度？

谢谢！

Answer 1

问题有一个最佳的子结构。要查找从顶点c到顶点z的最长路径，我们首先需要找到从c到z的所有前导的最长路径。这些问题的另一个问题是另一个较小的子问题（从c到特定前任的最长路径）。

让我们将z的前身u1,u2,...,uk和dist[z]表示为从c到z然后dist[z]=max(dist[ui]+w(ui,z))的最长路径。

以下是3个前辈省略边集义度的说明：

为了找到z的最长路径，我们首先需要找到其前任的最长路径并取最大路径（它们的值加上它们的边缘权重为z）。

这要求每当我们访问顶点u时，必须分析和计算所有u的前辈。

所以问题是：对于任何顶点u，如何确保在设置dist[u]之后，dist[u]以后永远不会更改？换句话说：在考虑c处的任何边缘之前，如何确保我们已考虑从u到u的所有路径？

由于图是非循环的，我们可以通过在图上找到拓扑排序来保证这种情况。拓扑排序就像一个顶点链，所有边都从左到右指向。因此，如果我们位于顶点vi，那么我们已经考虑了所有路径vi并且最终值为dist[vi]。

时间复杂度：拓扑排序需要O(V+E)。在最糟糕的情况下，z是一个叶子而所有其他顶点都指向它，我们将访问所有图形边缘，它们会给出O(V+E)。

Answer 2

让 f（u）成为您在DAG中从 c 到 u 的最大利润。然后你想要计算 f（z）。这可以使用动态编程/拓扑排序在线性时间内轻松计算。

为 c 以外的每个 u 初始化 f（u）= -infinity， f（c）= 0 < / em>的。然后，继续以DAG的某些拓扑顺序计算 f 的值。因此，当顺序是拓扑时，对于正在计算的节点的每个输入边缘，计算其他端点，因此只需选择该节点的最大可能值，即 f（u）= max（ f（v）+ cost（v，u））每个传入边（v，u）。

Answer 3

自DAG以来，最好使用Topological Sorting代替Bellman Ford。

来源： - http://www.utdallas.edu/~sizheng/CS4349.d/l-notes.d/L17.pdf

修改： -

G是具有负边缘的DAG。

  

有些边缘会降低您的利润，有些会增加您的利润

• 边缘 - 增加利润 - 正值
• 边缘 - 减少利润 - 负值

在TS之后，对于TS顺序中的每个顶点U，放松每个输出边缘。

dist[] = {-INF, -INF, ….}
dist[c] = 0 // source

for every vertex u in topological order
  if (u == z) break; // dest vertex
  for every adjacent vertex v of u
    if (dist[v] < (dist[u] + weight(u, v))) // < for longest path = max profit
      dist[v] = dist[u] + weight(u, v)

ans = dist[z];