如何在DAG中找到两个顶点之间的最大权重路径？

Question

在具有非负加权边的DAG G中，如何在G中找到两个顶点之间的最大权重路径？

谢谢你们！

Answer 1

您可以使用拓扑排序在O（n + m）时间（其中n是节点数和m边数）中解决此问题。首先在反向图上进行拓扑排序，这样就可以让所有节点排序，使得在访问所有子节点之前不会访问任何节点。

现在，我们将使用从该节点开始的最高权重路径的权重标记所有节点。这是基于以下递归观察完成的：

• 从汇聚节点（没有传出边缘的任何节点）开始的最高权重路径的权重为零，因为从该节点开始的唯一路径是该节点的长度为零的路径。
• 从任何其他节点开始的最高权重路径的权重由跟随出口边缘到节点形成的任何路径的最大权重给出，然后从该节点获取最大权重路径。

因为我们对节点进行了反向拓扑排序，所以我们可以按顺序访问所有节点，以确保如果我们尝试跟踪边缘并查找该节点端点上最重路径的成本，我们已经计算了从该节点开始的最大权重路径。这意味着一旦我们具有反向拓扑排序顺序，我们就可以将以下算法应用于该顺序中的所有节点：

1. 如果节点没有传出边缘，则将从该节点开始的最重路径的权重（表示为d（u））记录为零。
2. 否则，对于离开当前节点u的每个边（u，v），计算l（u，v）+ d（v），并将d（u）设置为这样获得的最大值。

完成此步骤后，我们可以在所有节点上进行最后一次传递，并返回任何节点获得的最高值d。

可以如下分析该算法的运行时间。计算拓扑排序可以使用许多不同的方法在O（n + m）时间内完成。然后，当我们扫描每个节点和每个节点的每个传出边缘时，我们只访问每个节点和边缘一次。这意味着我们在节点上花费O（n）时间，在边缘花费O（m）时间。最后，我们花费O（n）时间对元素进行最后一次传递以找到最高权重路径，这需要O（n）。这给出了总的O（n + m）时间，它与输入的大小成线性关系。

Answer 2

可以使用递归函数编写简单的强力算法。 从空向量开始（在C ++中：std :: vector）并插入第一个节点。 然后使用vector作为参数调用递归函数，执行以下操作：

• 遍历所有邻居和每个邻居
  • 复制载体
  • 添加邻居
  • 致电自己

还将总权重作为参数添加到递归函数中，并在每次递归调用中添加权重。

该函数应在到达结束节点时停止。然后将总重量与迄今为止的最大重量进行比较（使用全局变量），如果新的总重量更大，则设置最大重量并存储矢量。

其余由你决定。