如何为具有加权顶点的图计算最短路径？

Question

我正在尝试找出如何为具有加权顶点的图计算最短路径。像Dijkstra和Floyd–Warshall这样的经典算法通常可以处理带权重的边缘，但是我没有找到一种将其应用于我的案例（带权重的顶点）的方法：

我的想法之一是将图形转换为带有加权边的更经典的视图。这是我收到的：

这里我们有单向和双向加权边，但是我仍然不确定哪种算法可以处理这个问题，以找到最短的路径。

Answer 1

您当然可以通过变换图形来做到这一点。最简单的方法是将每个边转换为一个顶点，并将新的顶点与边成本相同的边连接起来。

但是您真的不需要去烦那些...

Dijkstra的算法非常容易适应顶点成本，而无需使用任何此类转换。遍历边缘时，只需执行 new_vertex_cost = old_vertex_cost + new_vertex_weight 即可，而不是 new_vertex_cost = old_vertex_cost + edge_weight 。

Answer 2

您可以将问题简化为经典的最短路径问题，并根据需要使用Dijkstra，Bellman-Ford或Floyd-Warshal。为了简单起见，在下文中，我假设所有权重都是非负的。我认为这样的假设是合理的，因为问题提到使用Dijkstra的算法来解决问题。最后，可以小心删除此假设。

考虑问题的最一般形式：假设G = <V, E>是有向加权图，在边和顶点上都有权重。构造图H = <V', E'>，其权重仅在边缘上，如下所示：对于v中的任何节点G，在H中创建两个节点v_in和v_out；添加权重等于(v_in -> v_out)中节点v的权重的边G。另外，对于(u -> w)中的任何边G，在H中添加边(u_out -> w_in)（新边的权重与原始边的权重相同）。

  

总而言之，对于原始图形中的任何顶点，请在中添加两个顶点   H，一个专用于进入边缘，另一个专用于边缘   传出边缘（也请根据以下说明连接H中的新相关节点：   G中相应顶点的权重。

现在，您有了一个有向加权图H，在顶点上没有权重，而在边缘上才有权重。很容易证明(s_in, t_out)中H之间的最短路径与原始图(s,t)中G之间的最短路径相同。

  

证据基于以下事实：   仅当且仅当(v_in, v_out)中的H边   G经过节点v。

就分析而言，我们有|V'| = 2|V|和|E'| = |E| + |V|。因此，这种减少不会影响所采用的寻找最短路径的算法的渐近行为。