具有最大顶点数的最短路径

Question

我想找到两个具有附加约束的顶点之间的最短路径：可以访问max n 顶点。图是有向的，连通的，非负权重，可能包含周期。

示例：

1. 最短路径 0-> 2 n = 2 18
2. 最短路径 0-> 3 n = 3 22
3. 最短路径 0-> 3 n = 4 9

到目前为止，我已经实现了Djikstras算法以获得简单的最短路径，我的想法是保持所访问的当前顶点的计数器，如果它超过 n 它需要一个或多个退一步并尝试另一条路径......但据我所知，Djikstras不能用于回溯here。

另一个想法是以某种方式存储表中每个节点之间的每条路径。但是我不确定Djikstra如何发现路径 0-> 2，权重18 ，因为它不是真正的最短路径......

有没有人有任何想法如何解决这个问题？

Answer 1

将每个顶点划分为n个顶点，即对于顶点u，我们创建表示为n的{​​{1}}个顶点，第二个数字显示为这个顶点。对于从u到v的每个边，我们在（u，i）到（v，i + 1）的新图中创建(u, 1) ... (u, n)的边。现在，如果你想用u计算u和v之间的最短路径，只需从（u，1）做Dijkstra，那么你的答案是1<=i<=n-1

顶点总数可以是n * n，因此复杂度约为min(result (v, i) | 1<=i<=n)

Answer 2

令COST_TO（v，n）为顶点v的最小路径的总权重，其边界为n或更小。

当n = 0时，答案很简单：

对于所有v，COST_T（v，0）= 0如果v是源顶点且无穷大

对于n> 0，COST_TO（v，n）是COST_TO（v，n-1）和所有COST_TO（w，n-1）+ WEIGHT（w，v）的最小值，其中有一个边缘w到v

因此，对于n = 0到N，用COST_（v，n）<跟踪所有顶点。无穷大及其成本，并从n-1的值计算n的成本。

同时，您可以跟踪每个v的最小权重路径 - 每次使用边缘规则将成本更新为v时，v的新路径是w加上该边缘的路径。反向单链表对此非常方便。

Answer 3

也许尝试bfs并检查最大值的顶点数。保存满足约束的最好的。

关于它的视频 https://youtu.be/TvHV3PB8ANs

Nist.gov也有一些算法。

Answer 4

假设您要查找从源顶点S到最多T条边的目标顶点K的最短路径。我选择K，因为您问题中的n会产生误导 - 如果您想找到最多访问n个顶点的最短路径，其中n是总数顶点，你可以运行Dijkstra，因为任何简单的路径最多有n个顶点 - 我认为这不是你想要的。

然后，如果您想要一个简单的实现，Bellman-Ford在这里是个不错的选择：

在外循环的i-th迭代之后，算法计算了从源顶点S到由at most i edges组成的任何其他顶点的最短路径，因此它包含at { {1}}。因此，为了解决您的问题，运行Bellman-Ford的at most i + 1 vertices外环，并检查到目标顶点K - 1的距离是否定义良好（不同于无穷大），如果是，你有你的结果。否则，访问T或更少顶点时无法从T访问S。