最短路径最大利润

Question

假设你有一个无向图G =（V，E）和两个顶点s，t在V中，s不等于t。 E中的每个边缘e都有长度和利润。

问题是： 如何在s-t之间找到路径P =（s，a1，a2，...，t），使路径的总长度尽可能小，利润最大。 有了Dijkstra，我可以找到第一个约束，但我怎么能确定第二个？

你可以做回溯但是，有没有更快的算法？欢迎任何帮助。

编辑： 首先找到最短路径的值x，然后找到所有的路径 具有相同长度x的路径，找到具有最大利润的路径。

见图：

Answer 1

不是在Dijkstra算法中为每个候选路径存储单个值，而是存储（总长度，总利润）的元组。如果总长度较短，或总长度相同但总利润较高，则考虑松弛步骤中的路径较短。

Answer 2

基本上你正在做的是你有两个数组分别维持长度和利润。 您可以创建另一个数组，它将长度与边缘的利润进行比较。 因此数组将存储所有边缘的比率=长度/利润，并且使用此定量数组，您可以使用Djikshtra的算法。 对于Djikshtra的算法，使用V set作为顶点和数组比率。使用这个运行Djikshtra的算法。您将获得所需的答案

Answer 3

这似乎是multi-objective optimization的一个例子。

解决此类问题的一种方法是为lambda创建一个新变量L。

但首先，让我们处理利润问题：您的边缘长度为l，利润为p。重新定义所有p，使p'=max(p)-p。现在，您的最大盈利边缘的值为零（可能的最低值），而您的最低盈利边缘的值为max(p)（可能的最高值）。您现在可以找到最低成本路径。

将边缘的权重定义为l*L+p'*(1-L)，现在从0到1变化L。根据长度或利润是否更重要，不同的路径将是最佳的。简而言之，这些路径构成了帕累托最优集。对于L的特定值，每个解决方案路径都优于所有其他路径。对于那个L，没有办法增加利润而不增加长度，或者减少长度而不减少利润。

请注意，选择L的适当值来生成此集合可能不是直截了当的：例如，如果利润数远大于长度数，则大多数集合将以{{1将利润值缩放到与长度值相当的水平。这些L值可能非常小。

Ooop，看到你的编辑：＆＃34;首先找到最短路径的值x，然后在具有相同长度x的所有路径的集合上找到一个具有最大利润的路径。＆＃34;在这种情况下，Nick's answer是可行的方法。