Question

我现在一直在处理一个问题集，而且我似乎已经将主方法降低了重复示例。但是，我发现自己在使用其他方法时遇到了困难（重复树，替换）。这是我坚持的问题：T（n）= T（n-2）+ n ^ 2是否有如下模式？ n ^ 2 + T（n-2）+ T（n-4）+ ...直到不再有n为止。所以大约n / 2次，这意味着n ^ 2 +（n-2）^ 2 +（n-i）^ 2所以渐近界将是theta（n ^ 2）??

我老老实实地在黑暗中开枪，所以我希望有人能指导我如何处理这些问题。也许不是对这个问题的直接回答，而是暗示我应该从哪里开始是最好的。

Answer 1

如你所说，结果将是n ^ 2 +（n-2）^ 2 +（n-4）^ 2 + ...

直观地你可以感觉到，因为总和中有很多（n / 2）个元素，它将超过O（n ^ 2） - 与1 + 2 + 3 + ... +相同n大于O（n）。

证明这一点的一种方法是，你可以用所有平方数之和的一半来近似总和，其中有formula。所以它是Theta（n ^ 3）。

Answer 2

以下是如何将总和按摩到结果中

n^2 + (n-2)^2 + ... + (n -2i) + ...

= {just writing in a different way}

(2n/2) + (2n/2 - 2)^2 + ... + (2n/2 -2i)^2 + ...

= {write m = n/2}

(2m)^2 + (2m-2)^2 + ... (2m - 2i)^2 + ...

= 4 ( m^2 + (m-1)^2 + ... (m-i)^2 ...)

= 4 ( sum (k^2) from k=1 to m)

= 4 ( sum (k^2) from k=1 to n/2)

= (n^3 + 3n^2 + 2n)/6

使用formula

求解形式T（n-i）+ f（n）的递归例子

2 个答案: