math - 求解递归关系T（n）=√nT（√n）+ n

主定理无法解决这个问题。但是，可以使用递归树方法解析为O（n log log n）。

这背后的直觉是注意到在树的每个层面，你都在做着工作。顶级是明确的工作。每个√n子问题都适用于n个工作的净总数等。所以现在的问题是递归树有多深。那么，这是在n变得足够小（比如小于2）之前你可以取n的平方根的次数。如果我们写

n = 2 ^{lg n}

然后在每次递归调用时，n将采用其平方根。这相当于将上述指数减半，因此在k次迭代后我们得到了

n ^{1 /（2 ^k）} = 2 ^{lg n /（2 ^k）}

我们想在小于2时停止，给出

2 ^{lg n /（2 ^k）} = 2

lg n /（2 ^k）= 1

lg n = 2 ^k

lg lg n = k

因此，在lg lg n次迭代的平方根后，递归停止。并且，因为在每个级别递归执行O（n）工作，总运行时间为O（n lg lg n）。

更一般地说，正如任何重复将其输入大小减半的算法都会让你想到“log n”，任何通过取平方根反复削减其输入大小的算法都会让你想到“log log n。 ”。例如，van Emde Boas树使用这种复发。

有趣的是，这种重复用于获得一个着名算法的运行时间，用于确定性地解决最接近的点对问题，假设计算机可以在恒定时间内取任意实数的最低点。