求解递归关系：T（n）= 3T（n / 5）+ lgn * lgn

Question

Consider the following recurrence
T(n) = 3T(n/5) + lgn * lgn

What is the value of T(n)?

(A) Theta(n ^ log_5{3})
(B) Theta(n ^ log_3{5})
(c) Theta(n Log n )
(D) Theta( Log n )

Answer is (A)

我的方法：

lgn * lgn = theta（n），因为c2lgn＆lt; 2 * lglgn＆lt; c1 * lgn表示某些n> n0

上图不等式如图所示，c2 = 0.1，c1 = 1

log_5 {3}＆lt; 1，

因此，通过主定理，答案必须是theta（n），并且没有一个答案匹配。如何解决这个问题呢？？

Answer 1

你声称lg n * lg n =Θ（n）是假的。请注意，当l变为无穷大时，（lg n） ² / n的极限趋于0。你可以用l'Hopital的规则来看这个：

  

lim _n→∞（lg n） ² / n

     

= lim _n→∞ 2 lg n / n

     

= lim _n→∞ 2 / n

     

= 0

更一般地说，使用类似的推理，你可以证明lg n = o（n ^ε）对于任何ε＆gt; 0

让我们尝试使用主定理解决这种复发。我们看到有三个大小为n / 5的子问题，所以我们应该看一下log ₅ 3的值。因为（lg n） ² = o（n ^{log ₅ 3} ），我们看到递归是重底的，可以得出结论，递推求解为O（n ^{log ₅ 3} ），即上面列表中的答案（A）。

希望这有帮助！

Answer 2

要应用主定理，我们应检查

之间的关系

n ^{log ₅ （3）}〜= n ^0.682 和（lg（n）） ² < / p>

不幸的是lg（n） ² ！= 2 * lg（n）：它是lg（n ² ）等于2 * lg（n）

另外，在主定理中，如果f（n）为O（n ^{log _b （a）-ε}），或者代替Θ，则存在很大差异（n ^{log _b a} ）：如果前者成立，我们可以应用案例1，如果后者持有定理的案例2。

乍一看，它看起来非常不可能（lg（n）） ² =Ω（n ^0.682 ），所以让我们试着证明（lg（n） ）） ² = O（n ^0.682 ），即：

0 ，c∈N ⁺ ，这样对于n> n ₀ ，（lg（n）） ² ＆lt; c * n ^0.682

让我们取两边的平方根（假设n> 1，不等式成立）

lg（n）＆lt; c ₁ * n ^0.341 ，（其中c ₁ = sqrt（c））

现在我们可以假设，lg（n）= log ₂ （n）（否则乘法因子可以被我们的常数吸收 - 正如你所知，常数因子在渐近分析中无关紧要并且指导双方：

2 ^lg（n）＆lt; 2 ^{c ₂ * n 0.341} ＆lt; =＆gt; n＆lt; 2 ^{c ₂ * n 0.341} ＆lt; =＆gt; n＆lt; （n ^{2 0.341} ） ^{c ₂} ＆lt; =＆gt; n＆lt; （n ^{2 0.341} ） ^{c ₂} ＆lt; =＆gt; n＆lt; （N ^1.266 ） ^{C <子> 2}

如果选择c ₂ = 1且n ₀ = 1

，则立即生效

因此，确实f（n）= O（n ^{log _b （a）-ε}），我们可以应用< b>硕士定理，并得出结论：

T（n）= O（n ^{log ₅ 3} ）

同样的结果，更正式一点。