递归关系：求解T（n-1）的大O

Question

我正在为Big O解决一些递归关系问题，到目前为止，直到这一点只遇到了涉及这种形式的递归关系：

T(n) = a*T(n/b) + f(n)

对于上述内容，我很容易找到Big O表示法。但我最近抛出了一个曲线球，其中包含以下等式：

T(n) = T(n-1) + 2

我不太确定如何为Big O解决这个问题。我实际上已尝试插入等式，如下所示：

T(n) = T(n-1) + 2
T(n-1) = T(n-2)
T(n-2) = T(n-3)

我不完全确定这是否正确，但我陷入困境并需要一些帮助。谢谢！

Answer 1

假设T（1）= 0

T(n) = T(n-1) + 2
 = (T(n-2) + 2) + 2
 = T(n-2) + 4
 = (T(n-3) + 2) + 4
 = T(n-3) + 6
 = T(n-k) + 2k

将k设为n-1，你有

T(n) = 2n - 2

因此，它是O（n）

Answer 2

由于这个问题已经得到解答，让我在如何找到复发的复杂性背后添加一些直觉。

• Master定理仅适用于除法和征服类型的重复，例如T(n) = a*T(n/b) + f(n)，其中a是子问题的数量，每个子问题的大小都是1/b原始问题。但是，重复T(n) = T(n-1) + 2在技术上并没有划分＆＃34;将问题转化为子问题。所以主定理在这里不适用。
• 如果我们仔细查看重复，很明显它会超过n个步骤，每个步骤都需要一个恒定的时间，在这种情况下为2。因此复杂性为O(n)。

我特别发现第二种直觉对大多数复发很有帮助（可能不是全部）。例如，您可以针对类似的重复T(n) = T(n-1) + n尝试相同的操作，其复杂性当然是O(n^2)。

Answer 3

T（n）= 2 * n = 2 *（n-1）+2 = T（n-1）+2

因此T（n）= 2 * n意味着O（n）