递归关系T（n）= T（3/4 * n）+ O（1）

Question

我正在研究递归关系

T(n) = T(3/4 * n) + O(1)

它出现了O(log(n))，但事前我被告知解决方案是O(n)。我找不到我出错的地方 - 这看起来就像二进制搜索的递归关系。有什么建议吗？

Answer 1

尝试将T(n) = c*n或T(n) = c * log n替换为等式并求解。两个方程中的一个是可解的。

您还可以通过评估n的不同值的函数来检查您的答案。

-- Define T in your preferred language
t n | n <= 1 = 1 | otherwise = t (3/4 * n) + 1

-- If it's O(log n), then T(n)/log(n) should be asymptotically constant
-- If it's O(n), then T(n)/n should be asymptotically constant
check1 n = t n / log n
check2 n = t n / n

print [check1 1e10, check1 1e11, check1 1e12, check1 1e13]
print [check2 1e10, check2 1e11, check2 1e12, check2 1e13]

其中一个将收敛到一个小的正数，另一个将转为零或无穷大。

Answer 2

T（n）= T（3/4 * n）+ O（1）...............（1） 在上面的eq。 T（3/4 * n）是未知的术语，如果你在询问这种复发的解决方案，那么我想说我们可以解决这个问题。使用替代方法。 在这里我们必须从主要方程式中找出T（3n / 4）的值。并在方程式中替换。递归。因为这种复发取决于递归。 N = 3N / 4 T（3n / 4）= T（（3/4）^ 2 * n）+ c ...............（2）符号O由常数c代替。 现在替换（1）中的T（3n / 4） T（n）= T（（3/4）^ 2 * n）+ 2c ................（3） 现在把n =（（3/4）^ 2 * n）放入（1） T（（3/4）^ 2 * n）= T（（3/4）^ 3 * n）+ c 替代 T（n）= T（（3/4）^ 3 * n）+ 3c ...............（4）

在第k步之后eq。将会 T（n）= T（（3/4）^ k * n）+ kc ................（5）在此步骤n将为2或1（输入大小） ） （3/4）^ k * n = 1 n =（4/3）^ k，双面登录。 的log（n）= K *日志（4/3） k = log（n）.............. 将价值放在eq。 （5） T（n）= T（1）+ log（n）* c ..............（6） T（n）= O（log n）

Answer 3

给出的答案并未显示解决此类复发的正确方法。您可以使用Masters theorem以及a=1和b=4/3轻松解决案例。这意味着c = logb(a) = 0。

由于您的f(n)是一个常量，因此您属于第二个案例桶和k=0。所以解决方案是，其中c = 0和k = 0。这意味着：

O(log(n))是一个正确答案