如何从图表中删除边缘后更新MST？

Question

我有一个用邻接列表表示的图表和由父数组表示的MST。

我的问题是我需要从图中删除边并更新父数组。

我已经设法在以下情况下处理这些案件：

1. 边缘不存在;
2. 边缘在图形中但不在MST中（MST不会改变）;
3. 并且边缘是来自两个节点的唯一路径（在这种情况下，我返回null，因为 图未连接）。

当边缘处于MST并且图形中的边缘处于循环中时，我该怎么办？我需要在 O（n + m）复杂度。

中执行此操作

我用红色写出边缘的成本。

Answer 1

只搜索最小距离路径 现在断开连接的树部分 到树的其余部分 在两者之间添加该路径 - 这是一条边。

说你原来的树是T.随着删除 在边缘，它现在被分成树T1和T2。

取其中一个 - 说T2。 入射到T2节点的每条边都是 在T2或是T2连接到T1。在这些当中 边缘入射到T2上的节点，选择其中的一个 （（其另一端位于T1节点）和 （在所有这些边缘中具有最低成本））。 搜索此边缘，例如e =（u，v），需要O（| E |）时间。如果分离的部分是叶子，则为O（| N |）。

如果有一棵树，比如T'，成本低于T1 \ union T2 \ union {e}， 然后节点设置T1和T2的N1和N2将具有比仅一个边缘更多的互连，

，即在T'上会有两个或更多的边沿从N1中的节点开始并以N2中的节点结束。 否则，（（T1和T2是最小的生成树，通过N1和N2）和（e是最便宜的 T1和T2之间的连接））将是错误的。但是，任何中间T1和T2都比e =（u，v）更昂贵 - 相互矛盾。

跳过一些证明细节。希望这可以帮助。