更改为图形中的非MST边缘以更改MST

Question

设计一个算法，该算法采用加权图G并找到 非MST边缘成本的最小变化会导致变化 G.的最小生成树。

到目前为止我的解决方案（需要建议）：

要更改MST，我们需要更改非MST边缘的重量s.t.它比MST中起始顶点和终点顶点的路径中的最大边缘小一个。

因此我们可以从MST的边缘开始，对于每个顶点，检查是否存在非MST边缘。如果有，则可以完成到达边缘终点（在MST中）的bfs。非MST边缘权重必须更新为小于路径中最大边缘权重的一个。

这将导致非MST边缘包含在MST中，并且先前的最大边缘将从MST中移除。

有人可以判断这个解决方案是否正确吗？感谢。

Answer 1

你找到了这个主意。 但是，您的答案需要进行调整，以表明您希望找到最小的更改，而不是要修改您在步行中遇到的每个非MST边缘。

如果这是学校问题，您还会被要求提供核心证明。为了构建它，我建议依靠Kruskal的证明，并解释为什么你的改变会让Kruskal选择改进的边缘而不是路径中的其他最大权重边缘。

Answer 2

我有个主意。所以基本上，我们可以遵循Kruskal算法的想法。因此，如果我们希望MST改变，那么Krukal算法必须有一次不在原始MST中选择边缘。这个边缘必须是我们要修改成本的边缘。所以算法很清楚。遵循Kruskal算法，每当我们想要选择新的边e时，我们会继续根据Kruskal算法进行搜索并找到另一个边缘e＆＃39;仍然没有创造一个循环。然后我们计算出成本的最小变化：w（e＆＃39;） - w（e）-1。（我不确定成本是否仅限于整数）。只需从上面选择最小变化即可。