Question

给出无向图G =（V，E）。首先询问MST的成本是多少。我可以很容易地找到使用Kruskall算法，如下所示：

G = (V, E)
for each edge (u, v) in E sorted by wight
{
    if(Find(u) != Find(v))
    {
        Add (u, v) to the MST
        Union(u, v); // put u and v in the same set
    }
}

之后，对于初始图中的每个边，询问最小生成树中该边的新MST的成本应该是多少。

如果MST中已存在边缘，则答案保持不变。否则，我可以再次运行Kruskall。伪代码如下：

G = (V, E)
G1 = runKruskall(G)

for each edge (u, v) in E
{
    ClearUnionSets()
    if (u, v) in G1
    {
        print costOf(G1)
    } else {
        Union(u, v)
        G2 = runKruskall(G)
        print costOf(G2)
    }
}

该方法的问题在于总复杂度为：O（E * E）

我的问题是，如果有更好的解决方案来更新MST，如上所述。

我在想的是，当第一次运行Kruskall时，对于每个边缘（u，v），u和v都在同一个集合中，找到已经存在于部分MST中的最大加权边缘具有（u，v）的循环并将该信息存储在M [u] [v]的矩阵M中。这样做，当边缘成为强制性时更新MST的问题将在O（1）中解决。

任何人都可以帮我吗？

Answer 1

对于不在MST上的每个边缘u-v，包括边缘的最小生成树是u-v替换MST上从u到v的路径上的最大边缘的那个。

可以如下有效地找到要更换的边缘。首先，将MST置于任意顶点。我们将修改算法以找到两个顶点的lowest common ancestor（LCA），描述为here。除了为每个顶点存储第2个父节点之外，我们还将存储到第2个父节点的路径上的最大边缘。使用这个数组，当我们计算LCA时，我们还将计算到LCA路径上的最大边缘，这使我们在两个顶点之间的路径上获得最大边缘。

预处理包括在O（E log E）中找到MST并在O（N log N）中构建LCA的父表，需要O（N log N）空间。在此之后，找到每个边缘的修改的MST仅需要对LCA进行一次评估，这可以在O（log N）中执行。因此，总复杂度仅为O（E log E）。

Kruskal的算法：当边缘成为强制性时更新MST

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